(0,75) Considere os subespaços vetoriais \mathcal{U}=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): p(0)=0\right\} e \mathcal{W}=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\right. : p(1)=0\} de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). A dimensão de \mathcal{U}+\mathcal{W} é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado define os subespaços \mathcal U=\{p\in\mathcal P_3(\mathbb R):p(0)=0\}
e \mathcal W=\{p\in\mathcal P_3(\mathbb R):p(1)=0\}
de \mathcal P_3(\mathbb R). Vamos usar Álgebra Linear de espaços vetoriais, em especial cálculo de dimensões de subespaços e a fórmula da dimensão da soma de subespaços.

Passo 2

A condição p(0)=0 é uma única restrição linear em \mathcal P_3 (que tem dimensão 4), portanto
\dim\mathcal U=4-1=3.
De modo análogo, a condição p(1)=0 impõe outra equação linear independente, então
\dim\mathcal W=4-1=3.

Passo 3

Para \mathcal U\cap\mathcal W exigimos simultaneamente p(0)=0 e p(1)=0. Um polinômio geral em \mathcal P_3 é
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
As condições dão d=0 e a+b+c+d=0, ou seja c=-(a+b). Logo
p(x)=ax^3 + bx^2 - (a+b)x =a\,(x^3-x)+b\,(x^2-x).
Isso mostra que \mathcal U\cap\mathcal W é gerado por \{x^3-x,\;x^2-x\}, de modo que
\dim(\mathcal U\cap\mathcal W)=2.

Passo 4

Usando a fórmula das dimensões,
\dim(\mathcal U+\mathcal W) =\dim\mathcal U+\dim\mathcal W-\dim(\mathcal U\cap\mathcal W) =3+3-2=4.
Como \mathcal P_3(\mathbb R) tem dimensão 4, concluímos que \mathcal U+\mathcal W=\mathcal P_3(\mathbb R).

Resposta

A dimensão de \mathcal U+\mathcal W é 4, opção (e).

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