Quais dos subcojuntos do espaço vetoria l\left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot\right), com as operações usuais são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
\mathbf{W}_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: y=\sqrt{2} z\right\}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
\mathbf{W}_{2} = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} : y = \sqrt{2}\,z\}
e pede para verificar se ele é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Lembre-se de que, para ser subespaço, precisamos checar as três propriedades seguintes:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob soma.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em \mathbf{W}_{2}. Substituindo em y = \sqrt{2}\,z temos
0 = \sqrt{2}\cdot 0,
que é verdadeiro. Logo, (0,0,0)\in \mathbf{W}_{2}.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{v}=(x_{2},y_{2},z_{2}) em \mathbf{W}_{2}. Então
y_{1} = \sqrt{2}\,z_{1}, \qquad y_{2} = \sqrt{2}\,z_{2}.
A soma é
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}).
No segundo componente aparece
y_{1}+y_{2} = \sqrt{2}\,z_{1} + \sqrt{2}\,z_{2} = \sqrt{2}\,(z_{1}+z_{2}),
então \mathbf{u}+\mathbf{v} também satisfaz a condição y=\sqrt{2}\,z. Logo, \mathbf{W}_{2} é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \mathbf{u}=(x,y,z)\in \mathbf{W}_{2} e c\in \mathbb{R}. Então y=\sqrt{2}\,z e
c\,\mathbf{u} = (c\,x,\,c\,y,\,c\,z).
No segundo componente de c\,\mathbf{u} temos
c\,y = c\,(\sqrt{2}\,z) = \sqrt{2}\,(c\,z),
portanto c\,\mathbf{u} também satisfaz y=\sqrt{2}\,z. Assim, \mathbf{W}_{2} é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

\mathbf{W}_{2} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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