(1,75 pontos) Considere a função definida para expanda essa função a toda a reta de modo que ela seja par e periódica de período 2 . Ache sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede para tomar a função original
estendê-la a toda a reta de forma que seja par e periódica de período , e então encontrar sua série de Fourier. Como a função estendida será par com período (ou seja, meio-período ), sua expansão em série de Fourier terá apenas termos em cosseno:
Passo 2
Vamos calcular primeiro o coeficiente . Para uma função par de meio-período vale
logo
Passo 3
Agora computamos, para ,
Separamos em duas integrais:
Observamos que
Passo 4
Para
usamos integração por partes com .
Assim
e
Portanto
Passo 5
Note que vale zero se é par e vale se é ímpar. Logo
]
Passo 6
Substituindo em f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(npi x)
temos
a02=-12
e somente aparecem termos de cosseno com n=2k+1. Assim