(1,75 pontos) Considere a função f(x)=x-1 definida para x in[0,1] expanda essa função a toda a reta de modo que ela seja par e periódica de período 2 . Ache sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para tomar a função original
f(x)=x-1, xin[0,1],
estendê-la a toda a reta de forma que seja par e periódica de período 2, e então encontrar sua série de Fourier. Como a função estendida será par com período T=2 (ou seja, meio-período L=1), sua expansão em série de Fourier terá apenas termos em cosseno:
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(npi xr)

Passo 2

Vamos calcular primeiro o coeficiente a0. Para uma função par de meio-período L=1 vale
a0=2Lintegral0^Lf(x),dx
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a0=2integral0^1(x-1),dx =2l[tfracx^22-xr]0^1 =2l(tfrac12-1r) =-1

Passo 3

Agora computamos, para n>=1,
an=2Lintegral0^Lf(x)cosl(npi xr),dx =2integral0^1(x-1)cos(npi x),dx
Separamos em duas integrais:
In=integral0^1xcos(npi x),dx e Jn=integral0^1cos(npi x),dx
Observamos que
Jn=l[tfracsin(npi x)npir]0^1 =sin(npi)npi=0

Passo 4

Para
In=integral0^1xcos(npi x),dx
usamos integração por partes com
u=x, dv=cos(npi x),dx.
Assim
v=sin(npi x)npi, du=dx,
e
In =l[xsin(npi x)npir]0^1 -integral0^1sin(npi x)npi,dx =(-1)^n-1n^2pi^2
Portanto
an =2l(In - Jnr) =2,In =2l((-1)^n-1r)n^2pi^2

Passo 5

Note que (-1)^n-1 vale zero se n é par e vale -2 se n é ímpar. Logo
an= 0,&n par,[6pt] -4n^2pi^2,&n ímpar í]

Passo 6

Substituindo em
f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(npi x)
temos
a02=-12
e somente aparecem termos de cosseno com n=2k+1. Assim
f(x) =-tfrac12 -4pi^2sumk=0^infty cosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

Resposta

boxed f(x) =-12 -4pi^2 sumk=0^infty cosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

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