(1,75 pontos) Encontre a solução da edo
y^prime prime+6 y^prime+5 y=-x+cos x

Passo 1

A equação dada é y'' + 6y' + 5y = -x + cos x. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz y'' + 6y' + 5y = 0. Montamos a equação característica
r^2 + 6r + 5 = 0
Suas raízes são r = -1 e r = -5. Portanto,
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é soma de um polinômio (-x) e de cos x, tomamos
yp(x) = yp1(x) + yp2(x)
com
yp1(x) = A x + B, yp2(x) = Ccos x + Dsin x

Passo 4

Para yp1(x) = A x + B, calculamos:
y'p1 = A, y''p1 = 0
Substituindo em y'' + 6y' + 5y = -x só para essa parte,
0 + 6A + 5(Ax + B) = 5A x + (6A + 5B) = -x
Igualando coeficientes de x e termo constante:
5A = -1 implies A = -tfrac15,
6A + 5B = 0 implies 6l(-tfrac15r) + 5B = 0 implies B = tfrac625

Passo 5

Para yp2(x) = Ccos x + Dsin x, temos
y'p2 = -Csin x + Dcos x, y''p2 = -Ccos x - Dsin x
Substituindo em y'' + 6y' + 5y = cos x:
(-Ccos x - Dsin x) + 6(-Csin x + Dcos x) + 5(Ccos x + Dsin x) = (4C + 6D)cos x + (-6C + 4D)sin x = cos x
Igualando coeficientes:
4C + 6D = 1, -6C + 4D = 0
Da segunda: D = tfrac32C. Substituindo na primeira:
4C + 6l(tfrac32Cr) = 4C + 9C = 13C = 1 implies C = tfrac113,
D = tfrac32 cdot tfrac113 = tfrac326

Passo 6

Finalmente, a solução geral é a soma de homogênea e particular:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x - tfrac15x + tfrac625 + tfrac113cos x + tfrac326sin x

Resposta

y(x) = C1e^-x + C2e^-5x - tfrac15x + tfrac625 + tfrac113cos x + tfrac326sin x

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