(1,75 pontos) Encontre a solução da edo
Passo 1
A equação dada é
. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
. Montamos a equação característica
Suas raízes são
e
. Portanto,
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é soma de um polinômio
e de
, tomamos
com
Passo 4
Para
, calculamos:
Substituindo em
só para essa parte,
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Passo 5
Para
, temos
Substituindo em
:
Igualando coeficientes:
Da segunda:
. Substituindo na primeira:
Passo 6
Finalmente, a solução geral é a soma de homogênea e particular: