Determine os valores de m e n para que o polinômio 2 x^4-2 x^3+m x^2-n x+2 seja divisível por x^2-x-2.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x) = 2x^4 - 2x^3 + m x^2 - n x + 2
e pede m e n tais que P(x) seja divisível por x^2-x-2. Vamos usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para polinômios: se x^2-x-2 é fator de P(x), então as raízes de x^2-x-2 anulam P(x).

Passo 2

Encontramos as raízes de
x^2-x-2=0
Resolvendo, obtemos x=2 e x=-1. Logo, devemos ter
P(2)=0 e P(-1)=0

Passo 3

Calculamos P(2):
P(2)=2cdot2^4-2cdot2^3+mcdot2^2-ncdot2+2 =32-16+4m-2n+2 =18+4m-2n
Como P(2)=0, segue
18 + 4m - 2n = 0 Longrightarrow 4m - 2n = -18 Longrightarrow 2m - n = -9

Passo 4

Agora P(-1):
P(-1)=2cdot(-1)^4-2cdot(-1)^3+mcdot(-1)^2-ncdot(-1)+2 =2+2+m+n+2 =6 + m + n
Como P(-1)=0, obtemos
6 + m + n = 0 Longrightarrow m + n = -6

Passo 5

Resolvemos o sistema
2m - n = -9, m + n = -6
Somando as duas equações:
(2m - n) + (m + n) = -9 + (-6) Longrightarrow 3m = -15 Longrightarrow m = -5
Substituindo m=-5 em m+n=-6:
-5 + n = -6 Longrightarrow n = -1

Resposta

m = -5 e n = -1.

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