( 1,75 pontos) Considere a série sumn=1^infty(cos nn^2+1). Analisar sobre a convergência ou divergência dessa série.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftycos nn^2+1
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular teste da convergência absoluta e critério de comparação com séries do tipo p.

Passo 2

Vamos verificar a convergência absoluta. Considere a série
sumn=1^infty|cos nn^2+1| =sumn=1^infty|cos n|n^2+1
Como para todo n vale |cos n|<=1 e n^2+1>= n^2, segue
|cos n|n^2+1<=1n^2
Sabemos que
sumn=1^infty1n^2
é uma série p com p=2>1, portanto ela converge. Pelo critério da comparação, a série de termos absolutos também converge, ou seja,
sumn=1^infty|cos n|n^2+1<infty

Passo 3

Como a série converge em módulo (converge absolutamente), concluímos que a série original
sumn=1^inftycos nn^2+1
converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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