Em uma divisão de polinômios, temos que o divisor é D(x)=x^2-2 x+1, o quociente q(x)=x^2+1 e o resto igual a r(x)=-x+2. Denotando o dividendo desta divisão por p(x), determine o resto da divisão de p(x) por x^2+x-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: sabemos que na divisão de p(x) por
D(x)=x^2-2x+1
o quociente é q(x)=x^2+1 e o resto é r(x)=-x+2. Precisamos encontrar o resto da divisão de p(x) pelo polinômio
E(x)=x^2+x-1
Conteúdo: divisão de polinômios e Teorema do Resto para divisor de grau 2.

Passo 2

Do enunciado temos
p(x)=D(x),q(x)+r(x)=(x^2-2x+1)(x^2+1)+(-x+2)

Passo 3

Como E(x) é de grau 2, o resto da divisão de p(x) por E(x) deve ser um polinômio de grau menor que 2, isto é, da forma
R(x)=ax+b
Pelo Teorema do Resto para grau 2, basta impor que para cada raiz alpha de E(x) valha
p(alpha)=R(alpha)=aalpha+b

Passo 4

Seja alpha uma raiz de E(x)=0. Então alpha^2+alpha-1=0, ou seja
alpha^2=-alpha+1

Passo 5

Vamos calcular p(alpha) usando p(alpha)=D(alpha),q(alpha)+r(alpha). Primeiro
D(alpha)=alpha^2-2alpha+1=(-alpha+1)-2alpha+1=-3alpha+2,
q(alpha)=alpha^2+1=(-alpha+1)+1=-alpha+2,
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D(alpha),q(alpha)=(-3alpha+2)(-alpha+2) =3alpha^2-8alpha+4 =3(-alpha+1)-8alpha+4 =-11alpha+7
Adicionando r(alpha)=-alpha+2 obtemos
p(alpha)=(-11alpha+7)+(-alpha+2)=-12alpha+9

Passo 6

Como p(alpha)=aalpha+b deve ser igual a -12alpha+9 para ambas as raízes, concluímos
a=-12, b=9

Resposta

O resto da divisão de p(x) por x^2+x-1 é
-12x+9

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