A respeito de campos de vetores conservativos, assinale a única sentença FALSA:
a) A integral de linha de um campo conservativo em todo plano R^2 é independente do caminho.
b) Se F é conservativo, então rot F=0;
c) Se F admite um potencial V, então nabla V= F.
d) Se rot F=0, então F é conservativo;
e) Se F=P i+Q j é conservativo e P e Q admitem derivadas parciais contínuas, então partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos de vetores conservativos. A gente vai analisar cada uma das afirmações para descobrir qual delas é falsa. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de cálculo vetorial, como integral de linha, rotacional (rot), potencial escalar, e as condições que caracterizam um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar V (chamada de potencial) tal que F = nabla V. Isso implica que a integral de linha de F entre dois pontos é independente do caminho escolhido.

Passo 3

Vamos analisar cada opção:
a) A integral de linha de um campo conservativo em todo plano R^2 é independente do caminho.
Isso está correto. Por definição, em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 4

b) Se F é conservativo, então rot F=0.
Isso também está correto. Um campo conservativo tem rotacional zero ( rot F = 0) em regiões simplesmente conexas, como o plano R^2.

Passo 5

c) Se F admite um potencial V, então nabla V = F.
Aqui, temos um detalhe importante. A relação correta, considerando a convenção mais comum, é F = nabla V. A afirmação trocou os lados da equação. Portanto, está errada.

Passo 6

d) Se rot F=0, então F é conservativo.
Isso está correto no contexto de regiões simplesmente conexas como R^2. Se o rotacional é zero, o campo é conservativo.

Passo 7

e) Se F=P i+Q j é conservativo e P e Q admitem derivadas parciais contínuas, então partial Ppartial y=partial Qpartial x.
Essa condição é conhecida como condição de igualdade das derivadas cruzadas e é necessária para que o campo seja conservativo. Então, está correta.

Resposta

A única sentença FALSA é a opção c): "Se F admite um potencial V, então nabla V = F".

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