A respeito de campos de vetores conservativos, assinale a única sentença FALSA:
a) A integral de linha de um campo conservativo em todo plano
é independente do caminho.
b) Se
é conservativo, então
;
c) Se
admite um potencial
, então
.
d) Se
, então
é conservativo;
e) Se
é conservativo e
e
admitem derivadas parciais contínuas, então
.
a) A integral de linha de um campo conservativo em todo plano
b) Se
c) Se
d) Se
e) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos de vetores conservativos. A gente vai analisar cada uma das afirmações para descobrir qual delas é falsa. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos de cálculo vetorial, como integral de linha, rotacional (rot), potencial escalar, e as condições que caracterizam um campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
(chamada de potencial) tal que
. Isso implica que a integral de linha de
entre dois pontos é independente do caminho escolhido.
Passo 3
Vamos analisar cada opção:
a) A integral de linha de um campo conservativo em todo plano
é independente do caminho.
Isso está correto. Por definição, em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 4
b) Se
é conservativo, então
.
Isso também está correto. Um campo conservativo tem rotacional zero (
) em regiões simplesmente conexas, como o plano
.
Passo 5
c) Se
admite um potencial
, então
.
Aqui, temos um detalhe importante. A relação correta, considerando a convenção mais comum, é
. A afirmação trocou os lados da equação. Portanto, está errada.
Passo 6
d) Se
, então
é conservativo.
Isso está correto no contexto de regiões simplesmente conexas como
. Se o rotacional é zero, o campo é conservativo.
Passo 7
e) Se
é conservativo e
e
admitem derivadas parciais contínuas, então
.
Essa condição é conhecida como condição de igualdade das derivadas cruzadas e é necessária para que o campo seja conservativo. Então, está correta.
Resposta
A única sentença FALSA é a opção c): "Se
admite um potencial
, então
".