1. (1.75 pontos) Encontre os valores de a e b que tornam a função abaixo seja contínua em todo R.
f(x)=l 3 x^3-x+7, se x in(-infty,-1] a(x+2)+b, se x in(-1,2] x^2+5, se x in(2,+infty)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= 3x^3-x+7, & x<= -1, a(x+2)+b, & -1<x<= 2, x^2+5, & x>2,
e pede valores de a e b que garantam continuidade em todo R. Como a única possível descontinuidade está nos pontos de mudança de ramo ( x=-1 e x=2), vamos impor continuidade ali, igualando os limites laterais aos valores correspondentes.

Passo 2

Para x=-1, o valor à esquerda vem do primeiro ramo:
f(-1)=3(-1)^3-(-1)+7=-3+1+7=5
O limite pela direita é dado pelo segundo ramo onde se aproxime de -1:
limxto -1^+f(x)=al((-1)+2r)+b=a+b
Para continuidade em x=-1 deve valer
a+b=5

Passo 3

Para x=2, o valor pelo segundo ramo é
f(2)=a(2+2)+b=4a+b,
e o limite pelo terceiro ramo é
limxto2^+f(x)=2^2+5=9
Impondo continuidade em x=2 resulta
4a+b=9

Passo 4

Resolvendo o sistema
a+b=5, 4a+b=9,
subtraindo a primeira da segunda temos
3a=4Longrightarrow a=43,
e então
b=5-a=5-43=153-43=113

Resposta

a=43, b=113

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