Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(2 a^3 x-3 y2)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão que é o cubo de uma diferença e depois refatorar o resultado para ver que volta à forma original. O conteúdo aqui é a fórmula do cubo de um binômio
(u - v)^3 = u^3 - 3u^2v + 3u v^2 - v^3
Vamos identificar
u = 2a^3 x e v = dfrac3y2
e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Calcular u^3 e v^3:
u^3 = (2a^3 x)^3 = 8a^9 x^3,
v^3 = l(3y2r)^3 = 27,y^38

Passo 3

Calcular o termo -3u^2v:
u^2 = (2a^3 x)^2 = 4a^6 x^2,
-3u^2v = -3 times (4a^6 x^2)times3y2 = -3 times 4 times 32;a^6 x^2 y = -18,a^6 x^2 y

Passo 4

Calcular o termo 3u v^2:
v^2 = l(3y2r)^2 = 9,y^24,
3u v^2 = 3 times (2a^3 x)times9y^24 = 3 times 2 times 94;a^3 x y^2 = 272,a^3 x y^2

Passo 5

Somando todos os termos pela fórmula do cubo de um binômio, obtemos a expansão:
(2a^3 x - tfrac3y2)^3 = u^3 - 3u^2v + 3u v^2 - v^3 = 8a^9 x^3 - 18a^6 x^2 y + 272a^3 x y^2 - 278y^3

Passo 6

Para refatorar, reconhecemos que a expressão obtida é exatamente da forma (u - v)^3 com os mesmos u e v escolhidos. Ao fatorar, voltamos a ter
(2a^3 x - tfrac3y2)^3,
que coincide com a expressão dada no enunciado.

Resposta

(a) 8a^9 x^3 ;-; 18a^6 x^2 y ;+; 272a^3 x y^2 ;-; 278y^3
(b) Ao fatorar esse polinômio, recuperamos
(2a^3 x - tfrac3y2)^3,
idêntico ao original.

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