( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por mu ). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de 4^circ C,
O engenheiro ao final decidiu coletar uma amostra de tamanho 25 . Se a média amostral obtida foi de 5,6^circ C, construa um intervalo de confiança para mu com 96 % de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir um intervalo de confiança para a temperatura média da água ( mu) na câmara compressora. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente sobre população normal e intervalos de confiança. Para resolver, vamos precisar saber o desvio padrão da população, o tamanho da amostra, a média da amostra e o nível de confiança desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo de valores onde acreditamos que a verdadeira média ( mu) está, com uma certa confiança (nesse caso, 96%). Para construí-lo, usamos a fórmula:
x pm zalpha/2 times ( sigmaraizn )
Aqui:
  • x é a média da amostra.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal que corresponde ao nível de confiança.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média da amostra ( x) = 5,6°C
  • Desvio padrão ( sigma) = 4°C
  • Tamanho da amostra ( n) = 25
  • Nível de confiança = 96%

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de zalpha/2 para um nível de confiança de 96%. Isso significa que alpha = 1 - 0,96 = 0,04, e alpha/2 = 0,02. Usando a tabela da distribuição normal, encontramos que z0,02 approx 2,05.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
4raiz25 = 45 = 0,8

Passo 6

Em seguida, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
2,05 times 0,8 = 1,64

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
5,6 pm 1,64 = [5,6 - 1,64, 5,6 + 1,64] = [3,96°C, 7,24°C]

Resposta

O intervalo de confiança para a temperatura média da água é de 3,96°C a 7,24°C com 96% de confiança. Isso significa que estamos 96% confiantes de que a verdadeira temperatura média da água na câmara compressora está entre 3,96°C e 7,24°C.

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