( 1,75 pontos) A recalibragem do processo de resfriamento de uma câmara compressora é muito caro e deve ser feito quando estritamente necessário. Um engenheiro com o objetivo de verificar se de fato é necessária uma recalibração da câmara, necessita estimar a temperatura média da água (denotada por ). De informações prévias ele sabe que a temperatura da água é normalmente distribuída com desvio padrão de ,
O engenheiro ao final decidiu coletar uma amostra de tamanho 25 . Se a média amostral obtida foi de , construa um intervalo de confiança para com de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir um intervalo de confiança para a temperatura média da água () na câmara compressora. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente sobre população normal e intervalos de confiança. Para resolver, vamos precisar saber o desvio padrão da população, o tamanho da amostra, a média da amostra e o nível de confiança desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo de valores onde acreditamos que a verdadeira média () está, com uma certa confiança (nesse caso, 96%). Para construí-lo, usamos a fórmula:
Aqui:
x é a média da amostra.
zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal que corresponde ao nível de confiança.
sigma é o desvio padrão da população.
n é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
Média da amostra (x) = 5,6°C
Desvio padrão (sigma) = 4°C
Tamanho da amostra (n) = 25
Nível de confiança = 96%
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de zalpha/2 para um nível de confiança de 96%. Isso significa que alpha = 1 - 0,96 = 0,04, e alpha/2 = 0,02. Usando a tabela da distribuição normal, encontramos que z0,02 approx 2,05.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
4raiz25 = 45 = 0,8
Passo 6
Em seguida, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
2,05 times 0,8 = 1,64
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
O intervalo de confiança para a temperatura média da água é de 3,96°C a 7,24°C com 96% de confiança. Isso significa que estamos 96% confiantes de que a verdadeira temperatura média da água na câmara compressora está entre 3,96°C e 7,24°C.