( 3,0 pontos) A associação dos proprietários das indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho. Sabe-se que o tempo perdido com acidentes de trabalho é normalmente distribuído, com média, nos últimos tempos, de 60 horas por funcionário com um desvio padrão de 20 horas/ homem. Com o intuito de diminuir o tempo médio perdido com acidentes de trabalho, associação propôs um programa de prevenção de acidentes, e após 6 meses da sua implementação observada uma amostra de 9 empresas para a qual verificou-se um tempo médio de horas perdidas de 50 horas/homem. Acredita-se que o tempo perdido com acidentes de trabalho após a implementação do programa permanecerá normalmente distribuído com desvio padrão de 20 horas/homem.
Calcule o valor-p do teste. Se o nível de significåncia fosse de 10 % a conclusão seria a mesma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um problema sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. A situação envolve uma associação que quer reduzir o tempo perdido com acidentes de trabalho. A gente sabe que, antes do programa de prevenção, o tempo médio perdido era de 60 horas por funcionário, com um desvio padrão de 20 horas. Depois de implementar o programa, uma amostra de 9 empresas mostrou um tempo médio de 50 horas. Precisamos calcular o valor-p desse teste e ver se, com um nível de significância de 10%, a conclusão permanece a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. A gente quer saber se o programa diminuíu o tempo médio perdido. Então:
  • Hipótese Nula (H₀): O tempo médio perdido permaneceu igual ou aumentou, ou seja, μ = 60 horas.
  • Hipótese Alternativa (H₁): O tempo médio perdido diminuiu, ou seja, μ < 60 horas.

Passo 3

Vamos identificar os parâmetros que temos:
  • Média populacional sob H₀: μ₀ = 60 horas
  • Média amostral: x = 50 horas
  • Desvio padrão da população: σ = 20 horas
  • Tamanho da amostra: n = 9
Como o desvio padrão da população é conhecido e a amostra é pequena (n < 30), usamos o teste z.

Passo 4

Agora, calculamos o erro padrão da média (EP):
EP = sigmaraizn = 20raiz9 = 203 approx 6,6667

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste z:
z = x - mu0EP = 50 - 606,6667 = -106,6667 approx -1,5

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor-p associado a esse z. O valor-p é a probabilidade de obtermos um valor tão extremo quanto o observado, assumindo que H₀ é verdadeira. Como nossa hipótese alternativa é unilateral (μ < 60), olhamos apenas para a cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando uma tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < -1,5) approx 0,0668 ou 6,68%

Passo 7

Com o valor-p calculado de aproximadamente 6,68%, vamos comparar com o nível de significância dado, que é 10%.
  • Se o valor-p ≤ nível de significância, rejeitamos H₀.
  • Se o valor-p > nível de significância, não rejeitamos H₀.
Neste caso:
0,0668 < 0,10

Resposta

O valor-p do teste é aproximadamente 6,68 %. Como 6,68 % é menor que o nível de significância de 10 %, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com um nível de significância de 10 %, a conclusão seria a mesma: o programa de prevenção reduziu o tempo médio perdido com acidentes de trabalho.

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