7.75 Seja
o subespaço de
gerado por
(a) Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortogonal e uma base ortonormal de
.
(b) Encontre a projeção de
sobre
.
(b) Encontre a projeção de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o subespaço
gerado por
(a) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal e, em seguida, uma base ortonormal de
;
(b) calcular a projeção de sobre
.
Vamos usar produto interno canônico e a fórmula
(b) calcular a projeção de
Vamos usar produto interno canônico e a fórmula
para cada etapa.
Passo 2
Construção da base ortogonal
por Gram–Schmidt:
- Definimos
- Retiramos de
a componente em :
- A seguir, de
removemos as projeções em e :
Somando as projeções e subtraindo de
vem
Isso fornece a base ortogonal
.
Passo 3
Normalização para obter a base ortonormal
:
-
,
-
,
-
,
Passo 4
Cálculo de
via somatório das projeções em
:
Calculamos
e já temos
Daí
Resposta
(a) Base ortogonal de
:
Base ortonormal de
:
(b)