7.75 Seja U o subespaço de \mathbf{R}^{4} gerado por
v_{1}=(1,1,1,1), \quad v_{2}=(1,-1,2,2), \quad v_{3}=(1,2,-3,-4)
(a) Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortogonal e uma base ortonormal de U.
(b) Encontre a projeção de v=(1,2,-3,4) sobre U.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o subespaço U\subset\mathbf{R}^4 gerado por
v_{1}=(1,1,1,1),\quad v_{2}=(1,-1,2,2),\quad v_{3}=(1,2,-3,-4):
(a) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal e, em seguida, uma base ortonormal de U;
(b) calcular a projeção de v=(1,2,-3,4) sobre U.
Vamos usar produto interno canônico e a fórmula
\mathrm{proj}_{u}(w)=\frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u
para cada etapa.

Passo 2

Construção da base ortogonal \{u_{1},u_{2},u_{3}\} por Gram–Schmidt:
  1. Definimos
u_{1}=v_{1}=(1,1,1,1).
  1. Retiramos de v_{2} a componente em u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle=1-1+2+2=4,\quad \langle u_{1},u_{1}\rangle=4,
u_{2}=v_{2}-\frac{4}{4}\,u_{1}=(1,-1,2,2)-(1,1,1,1)=(0,-2,1,1).
  1. A seguir, de v_{3} removemos as projeções em u_{1} e u_{2}:
\langle v_{3},u_{1}\rangle=1+2-3-4=-4,\quad \mathrm{proj}_{u_{1}}(v_{3})=-1\cdot u_{1},
\langle v_{3},u_{2}\rangle=0-4-3-4=-11,\quad \langle u_{2},u_{2}\rangle=6,\quad \mathrm{proj}_{u_{2}}(v_{3})=-\frac{11}{6}\,u_{2}.
Somando as projeções e subtraindo de v_{3} vem
u_{3}=v_{3}-\bigl(-1\,u_{1}\bigr)-\bigl(-\tfrac{11}{6}\,u_{2}\bigr) =(2,-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{6},-\tfrac{7}{6}).
Isso fornece a base ortogonal \{u_{1},u_{2},u_{3}\}.

Passo 3

Normalização para obter a base ortonormal \{e_{1},e_{2},e_{3}\}:
  1. \|u_{1}\|=\sqrt{4}=2,
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr).
  1. \|u_{2}\|=\sqrt{6},
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac1{\sqrt6}(0,-2,1,1).
  1. \|u_{3}\|^{2}=2^{2}+(-\tfrac23)^{2}+(-\tfrac16)^{2}+(-\tfrac76)^{2}=\tfrac{35}{6},
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|} =\sqrt{\frac{6}{35}}\,(2,-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{6},-\tfrac{7}{6}).

Passo 4

Cálculo de \mathrm{proj}_{U}(v) via somatório das projeções em u_{i}:
\mathrm{proj}_{U}(v) =\sum_{i=1}^{3}\frac{\langle v,u_{i}\rangle}{\langle u_{i},u_{i}\rangle}\,u_{i}.
Calculamos
\langle v,u_{1}\rangle=1+2-3+4=4,\; \langle v,u_{2}\rangle=-3,\; \langle v,u_{3}\rangle=-\tfrac{7}{2},
e já temos \langle u_{1},u_{1}\rangle=4,\;\langle u_{2},u_{2}\rangle=6,\;\langle u_{3},u_{3}\rangle=\tfrac{35}{6}. Daí
\mathrm{proj}_{U}(v) =(1)\,u_{1}+\bigl(-\tfrac12\bigr)\,u_{2}+\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)\,u_{3} =(-\tfrac15,\;\tfrac{12}{5},\;\tfrac{3}{5},\;\tfrac{6}{5}).

Resposta

(a) Base ortogonal de U:
\bigl\{(1,1,1,1),\;(0,-2,1,1),\;(2,-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{6},-\tfrac{7}{6})\bigr\}.
Base ortonormal de U:
\bigl\{\tfrac12(1,1,1,1),\;\tfrac1{\sqrt6}(0,-2,1,1),\;\sqrt{\tfrac{6}{35}}\,(2,-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{6},-\tfrac{7}{6})\bigr\}.
(b)
\mathrm{proj}_{U}(1,2,-3,4)=\bigl(-\tfrac15,\;\tfrac{12}{5},\;\tfrac{3}{5},\;\tfrac{6}{5}\bigr).

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