Os focos da elipse 4 x^{2}+3 y^{2}-24 x-36 y+96=0 são
Escolha uma opção:
a. F_{1}=(4,3) e F_{2}=(8,3)
b. F_{1}=(-3,-4) e F_{2}=(-3,-8)
c. F_{1}=(-4,-3) e F_{2}=(-8,-3)
d. F_{1}=(3,4) e F_{2}=(3,8)
e. F_{1}=(3,-4) e F_{2}=(3,-8)
f. F_{1}=(-4,3) e F_{2}=(-8,3)

Passo 1

O enunciado dá a elipse \r
4x^{2}+3y^{2}-24x-36y+96=0 \r
e pede as coordenadas dos focos. Vamos usar completamento de quadrados para colocar na forma padrão \r
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1 \r
e daí extrair centro (h,k), semi-eixos a,b e a distância focal c.

Passo 2

Agrupando termos em x e y e completando quadrados: \r
4\bigl(x^{2}-6x\bigr)+3\bigl(y^{2}-12y\bigr)+96=0. \r
Adicionando e subtraindo os termos necessários: \r
4\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-4\cdot9\;+\;3\bigl(y^{2}-12y+36\bigr)-3\cdot36+96=0 \r
que é \r
4(x-3)^{2}-36+3(y-6)^{2}-108+96=0 \r
ou seja \r
4(x-3)^{2}+3(y-6)^{2}=48.

Passo 3

Dividindo por 48 para obter a forma canônica: \r
\frac{(x-3)^{2}}{12}+\frac{(y-6)^{2}}{16}=1. \r
Daqui o centro é (h,k)=(3,6). Como 16>12, o eixo maior é vertical, com \r
\;a^{2}=16,\quad b^{2}=12,\quad a=4,\quad b=\sqrt{12}=2\sqrt3.

Passo 4

A distância focal satisfaz \r
\;c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-12=4,\quad c=2. \r
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em \r
(h,k\pm c)=(3,6\pm2), \r
isto é (3,4) e (3,8).

Passo 5

Comparando com as opções, a que corresponde a F_{1}=(3,4) e F_{2}=(3,8) é a alternativa (d).

Resposta

(d)

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