8.76 Água é bombeada à taxa de 0,0075 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório que está 20 m acima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acima da bomba. A pressão no lado da admissão da bomba é 150 kPa e no lado da descarga é 450 kPa . Todos os tubos são de aço comercial com diâmetro nominal de 15 cm . Determine (a) a altura de carga fornecida pela bomba e (b) a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre.

Passo 1

O enunciado diz que água escoa com vazão Q=0,0075, m^{3}/s por tubos de diâmetro interno D=0,15,m, entra na bomba sob pressão p_{1}=150,kPa e sai sob p_{2}=450,kPa. A elevação geodésica entre o ponto de admissão e o ponto de descarga livre é de 35,m (o nível de admissão da bomba é nossa cota zero). Queremos (a) a altura de carga fornecida pela bomba h_{p} e (b) a perda de carga total entre a saída da bomba e o ponto de descarga livre. Vamos usar a equação de Bernoulli com termo de bomba e isentar correções de velocidade, pois o diâmetro é constante.

Passo 2

Calculamos primeiro a velocidade no tubo e a altura de velocidade, para confirmar que ela se anula na equação:
v \;=\;\frac{Q}{A} \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; v = \frac{0,0075}{\pi(0,15)^{2}/4}\approx0{,}424\text{ m/s}.
Logo,
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(0,424)^{2}}{2\cdot9,81}\approx4,6\times10^{-3}\text{ m},
valor muito pequeno e que aparece dos dois lados da Bernoulli, cancelando-se.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre a sucção (ponto 1) e a descarga da bomba (ponto 2), incluindo a altura de carga h_{p}:
\frac{p_{1}}{\gamma}+z_{1}+\frac{v^{2}}{2g}+h_{p} =\frac{p_{2}}{\gamma}+z_{2}+\frac{v^{2}}{2g}.
Como z_{1}=z_{2}=0 (definimos a cota da bomba como zero) e a altura de velocidade cancela, vem
h_{p} =\frac{p_{2}-p_{1}}{\gamma} =\frac{450\,000-150\,000}{9810} \approx30{,}58\text{ m}.

Passo 4

Agora Bernoulli entre a saída da bomba (ponto 2) e o ponto de descarga livre (ponto 3), onde p_{3}=0 (atmosfera) e z_{3}=35,m:
\frac{p_{2}}{\gamma}+z_{2}+\frac{v^{2}}{2g} =\frac{p_{3}}{\gamma}+z_{3}+\frac{v^{2}}{2g}+h_{L},
portanto
h_{L} =\frac{p_{2}}{\gamma}+z_{2}-z_{3} =\frac{450\,000}{9810}+0-35 \approx10,87\text{ m}.

Resposta

(a) h_{p}\approx30{,}6 m
(b) h_{L}\approx10{,}9 m

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