As componentes x e y do vetor velocidade em um ponto de um escoamento turbulento são dadas na tabela a seguir. Determinar: (a) as médias temporais das componentes x e y da velocidade, e (b) a média temporal do produto das flutuações da velocidade (u’.v’) naquele ponto.
t(\mathrm{~s}) u(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) v(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) t(\mathrm{~s}) u(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) v(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
0,00 16,1 1,6 0,06 17,1 -1,4
0,01 25,7 -5,4 0,07 28,6 6,7
0,02 10,6 -8,6 0,08 6,7 -5,2
0,03 17,3 3,5 0,09 19,2 -8,2
0,04 5,2 4,1 0,10 21,6 1,5
0,05 10,2 -6,0

Passo 1

Temos medições das componentes de velocidade u e v em 11 instantes igualmente espaçados ( t=0{,}00 a 0{,}10,s). O objetivo é:
– calcular as médias temporais
\bar{u} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} u_i,\quad \bar{v} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} v_i
– e calcular a média temporal do produto das flutuações
\overline{u'v'} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (u_i - \bar{u}) (v_i - \bar{v}),
onde N=11.

Passo 2

Calculemos primeiro as somas \sum u_i e \sum v_i. Dos dados:
\sum_{i=1}^{11}u_i = 178{,}3,\quad \sum_{i=1}^{11}v_i = -17{,}4.
Logo as médias são
\bar u = \frac{178{,}3}{11},\qquad \bar v = \frac{-17{,}4}{11}.

Passo 3

Fazendo as divisões:
\bar u \approx 16{,}21\\ \mathrm{m/s}, \qquad \bar v \approx -1{,}58\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora definimos as flutuações
u'_i = u_i - \bar u,\qquad v'_i = v_i - \bar v
e calculamos para cada instante o produto u'_i\,v'_i. Por exemplo, para i=1:
u'_1 = 16{,}1 - 16{,}21 = -0{,}11,\quad v'_1 = 1{,}6 - (-1{,}58) = 3{,}18,\quad u'_1v'_1 \approx -0{,}11\times3{,}18 = -0{,}35.
Somando todos os u'_i v'_i obtém-se
\sum_{i=1}^{11}u'_i v'_i \approx 106{,}27.

Passo 5

Finalmente, a média temporal do produto das flutuações é
\overline{u'v'} = \frac{1}{11}\sum_{i=1}^{11}u'_i v'_i \approx \frac{106{,}27}{11} \approx 9{,}66\\ \mathrm{m^2/s^2}.

Resposta

(a) \bar u = 16{,}21\\ \mathrm{m/s},\quad \bar v = -1{,}58\\ \mathrm{m/s}.
(b) \overline{u'v'} = 9{,}66\\ \mathrm{m^2/s^2}.

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