Ar atmosférico é transportado através de um duto de ventilação horizontal. O duto é liso e de seção retangular medindo 30 cm de largura x 20 cm de altura. Se a vazão do escoamento é 0,24 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, calcular: (a) a perda de carga ao longo de 500 m do duto, e (b) a queda de pressão do escoamento ao longo de 500 m . Supor regime permanente, regime dinamicamente estabelecido, e queda de pressão insuficiente para causar variações significativas na densidade do ar. Dados: v_{a r}=1,5.10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho_{\mathrm{ar}}=1,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e g =10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
R: (a) 33,3 \mathrm{~m}; (b) 409,5 \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado dá um duto horizontal reto, de seção retangular de largura 0,30\\ \mathrm{m} e altura 0,20\\ \mathrm{m}, transportando ar com vazão volumétrica Q=0,24\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Pede-se a perda de carga ao longo de L=500\\ \mathrm{m} (em metros de coluna de fluido) e a correspondente queda de pressão. O método será usar a equação de Darcy–Weisbach, que exige a velocidade média, o diâmetro hidráulico, o número de Reynolds e o fator de atrito (tubo liso, usar aproximação de Blasius).

Passo 2

Calcular área da seção, velocidade média e diâmetro hidráulico.
A área vale
A = 0,30 \times 0,20 = 0,06\\ \mathrm{m}^2.
A velocidade média é
v = \frac{Q}{A} = \frac{0,24}{0,06} = 4,0\\ \mathrm{m/s}.
O diâmetro hidráulico para seção retangular é
D_h = \frac{4\,A}{\text{perímetro}} = \frac{4 \times 0,06}{2\,(0,30 + 0,20)} = \frac{0,24}{1,0} = 0,24\\ \mathrm{m}.í

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e o fator de atrito via Blasius.
O número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{v\,D_h}{\nu} = \frac{4{,}0 \times 0,24}{1{,}5\times10^{-5}} \approx 6{,}4\times10^4,
estando em regime turbulento. Para duto liso e \mathrm{Re}<10^5 usamos
f = \frac{0,3164}{\mathrm{Re}^{1/4}} = \frac{0,3164}{(6{,}4\times10^4)^{1/4}} \approx 0,020.

Passo 4

Calcular a perda de carga h_f pelo Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{v^2}{2\,g}.
Substituindo f=0,020, L=500\\ \mathrm{m}, D_h=0,24\\ \mathrm{m}, v=4,0\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s}^2, temos
\frac{v^2}{2g} = \frac{4{,}0^2}{2\times10} = 0,8\\ \mathrm{m},
\frac{L}{D_h} = \frac{500}{0,24} \approx 2083{,}3,
h_f = 0,020 \times 2083{,}3 \times 0,8 \approx 33{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter perda de carga em pressão, usando \Delta p = \rho\,g\,h_f.
Com \rho=1,23\\ \mathrm{kg/m}^3 e g=10\\ \mathrm{m/s}^2:
\Delta p = 1,23 \times 10 \times 33,3 \approx 409,5\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) 33,3\\ \mathrm{m}
(b) 409,5\\ \mathrm{Pa}

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