Encontre uma base para os seguintes subespaços de R^4 :
Os vetores para os quais x1+x2+x3=0 e x2+x4=0

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^4 definido pelos sistemas lineares
x1+x2+x3=0, x2+x4=0
O conteúdo usado aqui é resolver essas equações para parametrizar o espaço e, a partir daí, extrair vetores independentes que formem uma base.

Passo 2

Vamos resolver o sistema em função de variáveis livres. Das equações temos
x1=-x2-x3, x4=-x2
Escolhendo x2=s e x3=t como parâmetros livres, qualquer vetor (x1,x2,x3,x4) do subespaço pode ser escrito como
(x1,x2,x3,x4) =(-s-t,;s,;t,;-s) =s,(-1,1,0,-1)+t,(-1,0,1,0)

Passo 3

Os vetores (-1,1,0,-1) e (-1,0,1,0) são obviamente lineares independentes e geram todo o subespaço. Logo, eles formam uma base.

Resposta

Uma base é dada por
,(-1,1,0,-1),;(-1,0,1,0)

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