Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médies dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por \pi_{1}: 2 x-3 y+3 z-4=0 e \pi_{2}: x=y-z+2=0.

Passo 1

Vamos chamar de A=(x_1,y_1,z_1) um ponto genérico de \pi_1 e de B=(x_2,y_2,z_2) um ponto genérico de \pi_2. A matéria aqui é lugar geométrico de pontos médios, e precisamos usar a definição de ponto médio e as equações dadas dos planos
\pi_1\colon 2x-3y+3z-4=0 e \pi_2\colon x-y+z-2=0.

Passo 2

O ponto médio M=(x,y,z) de AB satisfaz
x=\frac{x_1+x_2}{2},\quad y=\frac{y_1+y_2}{2},\quad z=\frac{z_1+z_2}{2}.
Ou seja,
(x_1,y_1,z_1)=(2x-x_2,\;2y-y_2,\;2z-z_2).

Passo 3

Como A\in\pi_1, temos
2x_1-3y_1+3z_1-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2(2x-x_2)-3(2y-y_2)+3(2z-z_2)-4=0.
Como B\in\pi_2, temos
x_2 - y_2 + z_2 - 2 = 0.

Passo 4

As duas equações acima formam um sistema linear em (x_2,y_2,z_2). Esse sistema tem sempre solução porque os vetores normais (2,-3,3) e (1,-1,1) não são colineares, de modo que qualquer escolha de (x,y,z) leva a um sistema compatível. Logo, para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 existe pelo menos um par (A,B) com A\in\pi_1, B\in\pi_2 cujo ponto médio é (x,y,z).

Resposta

O lugar geométrico é todo o espaço \mathbb{R}^3, isto é, não há nenhuma restrição sobre (x,y,z). Em forma de equação, podemos escrever simplesmente
0=0,
ou dizer: o locus é todo \mathbb{R}^3.

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