Obtenha uma equação para o lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médies dos segmentos que têm extremidades nos planos dados por
e
.
Passo 1
Vamos chamar de
um ponto genérico de
e de
um ponto genérico de
. A matéria aqui é lugar geométrico de pontos médios, e precisamos usar a definição de ponto médio e as equações dadas dos planos
e
.
Passo 2
O ponto médio
de
satisfaz
Ou seja,
Passo 3
Como
, temos
Como
, temos
Passo 4
As duas equações acima formam um sistema linear em
. Esse sistema tem sempre solução porque os vetores normais
e
não são colineares, de modo que qualquer escolha de
leva a um sistema compatível. Logo, para todo
existe pelo menos um par
com
,
cujo ponto médio é
.
Resposta
O lugar geométrico é todo o espaço
, isto é, não há nenhuma restrição sobre
. Em forma de equação, podemos escrever simplesmente
ou dizer: o locus é todo
.