Obtenha as equações do lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes das retas r, s e t dadas por r:\left\{\begin{array}{l}x=4 \\\ y+z=3\end{array}, s:\left\{\begin{array}{c}3 x+y+z=0 \\\ x-y-z=0\end{array}, t: x-y=x+z=1+z\right.\right..

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que têm a mesma distância a três retas r,s,t em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é a distância de um ponto a uma reta no espaço, dada pela fórmula
d(P,\ell)\;=\;\frac{\big\|\,(P-A)\times\mathbf v\big\|}{\|\mathbf v\|},
onde A é um ponto qualquer da reta \ell e \mathbf v seu vetor diretor. Usaremos parametrizações de r,s,t e depois igualaremos as distâncias quadradas para evitar raízes.

Passo 2

Parametrizamos as retas escolhendo um ponto e o vetor diretor em cada caso.
Reta r\): \[\begin{cases} x=4,\\\ y+z=3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=4,\\\ y=t,\\\ z=3-t, \end{cases}
logo um ponto em r\] é \[A_r=(4,0,3) e \mathbf v_r=(0,1,-1).
Reta s:
\begin{cases} 3x+y+z=0,\\\ x-y-z=0 \end{cases} \;\Rightarrow\;x=0,\;y=t,\;z=-t,
logo A_s=(0,0,0)\] e \[\mathbf v_s=(0,1,-1).
Reta t:
x-y=x+z=1+z \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x=1,\\\ z=-y, \end{cases}
logo A_t=(1,0,0)\] e \(\mathbf v_t=(0,1,-1). Note que todas têm o mesmo vetor diretor \mathbf v=(0,1,-1).

Passo 3

Usamos distância ao quadrado (para evitar raiz):
d^2(P,r)=\big\|(P-A_r)\times\mathbf v\big\|^2,\quad d^2(P,s)=\big\|(P-A_s)\times\mathbf v\big\|^2,\quad d^2(P,t)=\big\|(P-A_t)\times\mathbf v\big\|^2.
Como \|\mathbf v\| é comum, basta igualar os numeradores.

Passo 4

Calculamos \big\|(P-A_r)\times\mathbf v\big\|^2 e \big\|(P-A_s)\times\mathbf v\big\|^2, depois igualamos:
(P-A_r)=(x-4,y,z-3),\quad (P-A_s)=(x,y,z).
Fazendo o produto vetorial e simplificando, obtemos após cancelamentos a equação do plano bissetor de r e s:
16x+6y+6z-41=0.

Passo 5

Analogamente, igualamos \big\|(P-A_r)\times\mathbf v\big\|^2 e \big\|(P-A_t)\times\mathbf v\big\|^2, em que (P-A_t)=(x-1,y,z). O resultado é outro plano:
4x+2y+2z-13=0.

Resposta

O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r,s,t é a interseção dos dois planos
16x+6y+6z-41=0,
4x+2y+2z-13=0.

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