Obtenha as equações do lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes das retas r, s e t dadas por r:\left\{\begin{array}{l}x=4 \\\ y+z=3\end{array}, s:\left\{\begin{array}{c}3 x+y+z=0 \\\ x-y-z=0\end{array}, t: x-y=x+z=1+z\right.\right..
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que têm a mesma distância a três retas r,s,t em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é a distância de um ponto a uma reta no espaço, dada pela fórmula
onde A é um ponto qualquer da reta \ell e \mathbf v seu vetor diretor. Usaremos parametrizações de r,s,t e depois igualaremos as distâncias quadradas para evitar raízes.
Passo 2
Parametrizamos as retas escolhendo um ponto e o vetor diretor em cada caso.
Como \|\mathbf v\| é comum, basta igualar os numeradores.
Passo 4
Calculamos \big\|(P-A_r)\times\mathbf v\big\|^2 e \big\|(P-A_s)\times\mathbf v\big\|^2, depois igualamos:
(P-A_r)=(x-4,y,z-3),\quad (P-A_s)=(x,y,z).
Fazendo o produto vetorial e simplificando, obtemos após cancelamentos a equação do plano bissetor de r e s:
16x+6y+6z-41=0.
Passo 5
Analogamente, igualamos \big\|(P-A_r)\times\mathbf v\big\|^2 e \big\|(P-A_t)\times\mathbf v\big\|^2, em que (P-A_t)=(x-1,y,z). O resultado é outro plano:
4x+2y+2z-13=0.
Resposta
O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r,s,t é a interseção dos dois planos