2.78 Seja A uma matriz quadrada. Mostre que (a) A+A^H é hermitiana, (b) A-A^H é antihermitiana, (c) A=B+ C, em que B é hermitiana e C é antihermitiana.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A e pede para:
– (a) mostrar que A + A^H é hermitiana;
– (b) mostrar que A - A^H é antihermitiana;
– (c) escrever A como soma de uma parte hermitiana e outra antihermitiana.
Vamos usar as definições e propriedades seguintes:
  1. Uma matriz M é hermitiana se
M^H = M
  1. Uma matriz N é antihermitiana se
N^H = -,N
  1. Para quaisquer matrizes X,Y e escalar c vale
(X+Y)^H = X^H + Y^H, (cX)^H = c,X^H

Passo 2

Para (a), defina
M = A + A^H
Então, usando a propriedade do conjugado-transposto,
M^H = (A + A^H)^H = A^H + (A^H)^H
Mas (A^H)^H = A, logo
M^H = A^H + A = A + A^H = M
Como M^H = M, concluímos que A + A^H é hermitiana.

Passo 3

Para (b), defina
N = A - A^H
Então
N^H = (A - A^H)^H = A^H - (A^H)^H = A^H - A = -l(A - A^Hr) = -N
Como N^H = -N, concluímos que A - A^H é antihermitiana.

Passo 4

Para (c), note que podemos escrever
A = tfrac12l(A + A^Hr) ;+;tfrac12l(A - A^Hr)
Defina
B = tfrac12l(A + A^Hr), C = tfrac12l(A - A^Hr)
Pelo que já provamos, B é hermitiana e C é antihermitiana, e claramente A = B + C.

Resposta

Tomando
B = tfrac12l(A + A^Hr), C = tfrac12l(A - A^Hr),
temos B^H = B, C^H = -C e A = B + C.

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