2.78 Seja
uma matriz quadrada. Mostre que (a)
é hermitiana, (b)
é antihermitiana, (c)
, em que
é hermitiana e
é antihermitiana.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz quadrada
e pede para:
– (a) mostrar que é hermitiana;
– (b) mostrar que é antihermitiana;
– (c) escrever como soma de uma parte hermitiana e outra antihermitiana.
– (a) mostrar que
– (b) mostrar que
– (c) escrever
Vamos usar as definições e propriedades seguintes:
- Uma matriz
é hermitiana se
- Uma matriz
é antihermitiana se
- Para quaisquer matrizes
e escalar vale
Passo 2
Para (a), defina
Então, usando a propriedade do conjugado-transposto,
Mas
, logo
Como
, concluímos que
é hermitiana.
Passo 3
Para (b), defina
Então
Como
, concluímos que
é antihermitiana.
Passo 4
Para (c), note que podemos escrever
Defina
Pelo que já provamos,
é hermitiana e
é antihermitiana, e claramente
.
Resposta
Tomando
temos
,
e
.