Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n sobre R, considere o conjunto
W=A in V mid A T=T A
Verifique se W é subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente sobre matrizes quadradas de ordem n com números reais. Nos foi dado um conjunto W formado por todas as matrizes A que satisfazem a condição AT = TA , ou seja, que comutam com uma matriz fixa T . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto W é realmente um subespaço do espaço vetorial V .

Passo 2

Primeiro, precisamos checar se W não está vazio. No contexto de espaços vetoriais, um subespaço sempre contém o vetor zero. Vamos ver se a matriz zero pertence a W .
Sabemos que a matriz zero 0 satisfaz 0 cdot T = T cdot 0 , já que qualquer matriz multiplicada por zero resulta na matriz zero. Assim, 0 in W , então W não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes A e B que estão em W , a soma A + B também deve estar em W .
Sabemos que A e B satisfazem AT = TA e BT = TB . Queremos mostrar que (A + B)T = T(A + B) .
Fazendo as contas:
(A + B)T = AT + BT = TA + TB = T(A + B)
Então, A + B também comuta com T , ou seja, A + B in W . Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se A in W e k é um número real, então kA também deve estar em W .
Sabemos que A satisfaz AT = TA . Queremos mostrar que (kA)T = T(kA) .
Calculando:
(kA)T = k(AT) = k(TA) = T(kA)
Então, kA também comuta com T , ou seja, kA in W . Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como verificamos que W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço do espaço vetorial V .

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