Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
sobre
, considere o conjunto
Verifique se
é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente sobre matrizes quadradas de ordem
com números reais. Nos foi dado um conjunto
formado por todas as matrizes
que satisfazem a condição
, ou seja, que comutam com uma matriz fixa
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é realmente um subespaço do espaço vetorial
.
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se
não está vazio. No contexto de espaços vetoriais, um subespaço sempre contém o vetor zero. Vamos ver se a matriz zero pertence a
.
Sabemos que a matriz zero
satisfaz
, já que qualquer matriz multiplicada por zero resulta na matriz zero. Assim,
, então
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes
e
que estão em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que
e
satisfazem
e
. Queremos mostrar que
.
Fazendo as contas:
Então,
também comuta com
, ou seja,
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Sabemos que
satisfaz
. Queremos mostrar que
.
Calculando:
Então,
também comuta com
, ou seja,
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço do espaço vetorial
.