Encontre uma base para os seguintes subespaços de R^4 :
O subespaço gerado por (1,1,1,1),(1,2,3,4) e (2,3,4,5).

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1),
v2=(1,2,3,4) e
v3=(2,3,4,5).
O conteúdo aqui é teste de dependência linear e extração de um conjunto independente de geradores.

Passo 2

Para ver se há dependência linear, tentamos escrever uma combinação
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = (0,0,0,0)
Note que
v3 = (2,3,4,5) = (1,1,1,1) + (1,2,3,4) = v1 + v2
Logo basta escolher alpha= -1, beta=-1, gamma=1 para ter
-1cdot v1 + (-1)cdot v2 + 1cdot v3 = 0,
o que mostra que os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Como
Subtraindo a primeira da segunda dá . Logo são independentes.

Passo 4

Concluímos que v1,v2 é um conjunto de geradores linearmente independentes do subespaço. Portanto é uma base.

Resposta

Uma base do subespaço é
l(1,1,1,1),,(1,2,3,4)r

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