Se
e
são subespaços ortogonais, demonstre que o único vetor comum entre eles é o vetor nulo, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços ortogonais de um espaço vetorial com produto interno. Queremos mostrar que a interseção desses subespaços é só o zero, ou seja,
Para isso vamos usar duas coisas: a definição de ortogonalidade de subespaços e a propriedade de que
implica
.
Passo 2
Seja
um vetor de
. Então, por definição de interseção,
Passo 3
Como
e
são ortogonais, todo vetor de
é ortogonal a todo vetor de
. Em particular, tomando
e
obtemos
Passo 4
Mas a propriedade do produto interno diz que
e que
se, e somente se,
for o vetor nulo. Logo
Resposta
Portanto, o único vetor em
é o vetor nulo, isto é,