Se V e W são subespaços ortogonais, demonstre que o único vetor comum entre eles é o vetor nulo, ou seja, U cap W=o.

Passo 1

O enunciado diz que V e W são subespaços ortogonais de um espaço vetorial com produto interno. Queremos mostrar que a interseção desses subespaços é só o zero, ou seja,
V cap W = 0
Para isso vamos usar duas coisas: a definição de ortogonalidade de subespaços e a propriedade de que lang<= v,vrang<==0 implica v=0.

Passo 2

Seja v um vetor de V cap W. Então, por definição de interseção,
v in V e v in W

Passo 3

Como V e W são ortogonais, todo vetor de V é ortogonal a todo vetor de W. Em particular, tomando vin V e vin W obtemos
lang<= v, vrang<= = 0

Passo 4

Mas a propriedade do produto interno diz que
lang<= v, vrang<= = |v|^2 >= 0
e que |v|^2 = 0 se, e somente se, v for o vetor nulo. Logo
v=0

Resposta

Portanto, o único vetor em Vcap W é o vetor nulo, isto é,
V cap W = 0

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