A entalpia de adsorção do CO sobre uma superfície é de -120 kJ mol-1. Estime a vida média de uma molécula de CO sobre a superfície do adsorvente, a 400 K .
A entalpia de adsorção do CO sobre uma superfície é de -120 kJ mol-1. Estime a vida média de uma molécula de CO sobre a superfície do adsorvente, a 400 K .

Passo 1

O enunciado dá a entalpia (energia) de adsorção do CO sobre uma superfície e pede para estimar a vida média (tempo de residência) de uma molécula de CO na superfície à temperatura dada. Dados importantes que temos:
\text{entalpia de adsorção} = -120\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}çã
T = 400\\ \mathrm{K}
A pergunta é: qual é a vida média (tempo médio que uma molécula fica adsorvida) na superfície a 400\\ \mathrm{K}?

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê): para estimar o tempo médio de permanência usamos o modelo cinético de dessorção termoativada, que dá uma constante de dessorção do tipo Arrhenius. Não foi pedido outro método específico, e esse é o procedimento padrão para transformar uma energia de adsorção em uma taxa de dessorção e, daí, em tempo médio de residência. Vou usar a expressão
k_{\text{des}} = \nu \, e^{-E_{\text{des}}/(RT)},
onde k_{\text{des}} é a constante de dessorção (unidade: \mathrm{s^{-1}}), \nu é a frequência de tentativa (prefator, em \mathrm{s^{-1}}), E_{\text{des}} é a energia de ativação para dessorção (J mol ^{-1}), R é a constante universal dos gases e T é a temperatura (K). A vida média (tempo de residência) \tau relaciona-se com k_{\text{des}} por
\tau = \frac{1}{k_{\text{des}}}.

Passo 3

Explicando as fórmulas e variáveis:
  • \nu (freqüência de tentativa): é a frequência com que a molécula “tenta” escapar do poço de adsorção — tipicamente da ordem de uma frequência vibracional da molécula ligada à superfície. Uma estimativa clássica é \nu\sim 10^{12}\!-\!10^{13}\\ \mathrm{s^{-1}}. Outra estimativa mais física é \nu\approx k_B T/h (da teoria de estado de transição), onde k_B é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck.
  • E_{\text{des}}: é a energia necessária para a molécula se desprender; para dessorção simples podemos tomar |\Delta H_{\text{ads}}| como aproximação, ou seja E_{\text{des}}\approx 120\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
  • R é a constante dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • A expressão e^{-E/(RT)} é o fator de Boltzmann que dá a fração de moléculas com energia suficiente para escapar.

Passo 4

Converter unidades e fixar números:
E_{\text{des}} = 120\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} = 120\,000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
R = 8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},\qquad T=400\\ \mathrm{K}.
Escolho, como valor de referência para \nu, \nu=10^{13}\\ \mathrm{s^{-1}} (valor frequentemente usado e compatível com \nu\approx k_B T/h; mais adiante faço um pequeno teste de sensibilidade).

Passo 5

Calcular o expoente \dfrac{E_{\text{des}}}{RT}:
\frac{E_{\text{des}}}{RT}=\frac{120\,000}{8{,}314\times 400}.
Calculemos o denominador:
8{,}314\times 400 = 3\,325{,}6.
Então
\frac{E_{\text{des}}}{RT}=\frac{120\,000}{3\,325{,}6}\approx 36{,}0837.

Passo 6

Avaliar o fator exponencial e^{-E_{\text{des}}/(RT)}:
e^{-36{,}0837}\approx 2{,}13\times10^{-16}.
Explicação didática: esse número é extremamente pequeno — significa que, à temperatura de 400\\ \mathrm{K}, somente uma fração muito ínfima ( \sim 10^{-16}) das moléculas têm energia suficiente para escapar em cada tentativa.

Passo 7

Calcular a constante de dessorção k_{\text{des}} com \nu=10^{13}\\ \mathrm{s^{-1}}:
k_{\text{des}}=\nu\,e^{-E_{\text{des}}/(RT)} = 10^{13}\times 2{,}13\times10^{-16} \approx 2{,}13\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: em média ocorrem \sim 2{,}13\times10^{-3} dessorções por segundo por sítio ocupado.

Passo 8

Calcular a vida média \tau:
\tau=\frac{1}{k_{\text{des}}}=\frac{1}{2{,}13\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}\approx 4,69\times10^{2}\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos para intuição:
4,69\times10^{2}\\ \mathrm{s}\approx 7,8\\ \mathrm{min}.

Passo 9

Cheque de sensibilidade (rápido): se adotássemos a estimativa física \nu\approx k_B T/h, calculamos
\nu\approx\frac{k_B T}{h}=\frac{1{,}380649\times10^{-23}\times 400}{6{,}62607015\times10^{-34}}\approx 8{,}33\times10^{12}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Com esse \nu, o cálculo dá k_{\text{des}}\approx 1{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}} e \tau\approx 5,62\times10^{2}\\ \mathrm{s}\approx 9,4\\ \mathrm{min}. Conclusão: a estimativa depende do prefator, mas permanece da ordem de poucos minutos a uma dezena de minutos.

Resposta

\tau \approx 4,7\times10^{2}\\ \mathrm{s} \approx 7,8\\ \mathrm{min}

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