7a Questão Um capacitor de 6,00 \mu \mathrm{~F}, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de 5,00 \Omega e a uma fonte de fem \boldsymbol{\varepsilon}=50,0 \mathrm{~V}, que possui resistência interna desprezível. No instante em que o resistor está dissipando energia elétrica com uma taxa de 300 W , quanta energia está acumulada no capacitor?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito de carga de capacitor em série com resistor e fonte: o capacitor tem C=6{,}00\,\mu\mathrm F, o resistor tem R=5{,}00\,\Omega e a fonte fornece \varepsilon=50{,}0\,\mathrm V com resistência interna desprezível. Precisamos usar as equações do circuito RC em carga: a corrente decai exponencialmente, a potência dissipada no resistor é P=Ri^2 e a energia acumulada no capacitor é U_C=\tfrac12C\,v_C^2.

Passo 2

Durante a carga, a corrente é
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}
e a potência dissipada no resistor é
P(t)=R\,i^2(t) =\frac{\varepsilon^2}{R}\,e^{-2t/(RC)}.

Passo 3

No instante dado temos P=300\,\mathrm W. Substituindo em P(t)=\varepsilon^2/R\;e^{-2t/(RC)} obtemos
300=\frac{50{,}0^2}{5{,}00}\;e^{-2t/(RC)},
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e^{-2t/(RC)} =\frac{300\times5{,}00}{50{,}0^2} =\frac{1500}{2500} =0{,}60.

Passo 4

Desse resultado segue
e^{-t/(RC)} =\sqrt{0{,}60}\approx0{,}7746.

Passo 5

A tensão no capacitor é
v_C(t) =\varepsilon\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr) =50{,}0\bigl(1-0{,}7746\bigr)\approx11{,}27\,\mathrm V.
Portanto a energia acumulada no capacitor é
U_C =\tfrac12\,C\,v_C^2 =\tfrac12\times6{,}00\times10^{-6}\times(11{,}27)^2 \approx3{,}81\times10^{-4}\,\mathrm J.

Resposta

A energia acumulada no capacitor é aproximadamente 3{,}81\times10^{-4}\,\mathrm J.

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