Um certo gás ideal está a 220 K , tem 2 mols e ocupa um volume de 5 L quando está a 1 atm e. Então o gás é comprimido adiabaticamente até um volume 1,5 \mathrm{~L}. (a) Determine a pressão final, supondo que \underline{\mathrm{Cv}}=20 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.K. Determine (b) a variação da energia cinética média de translação do conjunto de todas as moléculas deste gás.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com n=2 mol, T_{1}=220,K, V_{1}=5,L, P_{1}=1,atm, comprimido adiabaticamente até V_{2}=1{,}5,L. Como é processo adiabático e há dado \Cv, vamos usar as leis do gás ideal em adiabático reversível e a variação de energia interna \Delta U=n\,\Cv\Delta T.

Passo 2

Para aplicar as leis adiabáticas precisamos de \gamma. Sabendo que
\Cp=\Cv+R,
então
\gamma=\frac{\Cp}{\Cv} =\frac{\Cv+R}{\Cv} =\frac{20+8{,}314}{20} \approx1{,}4157.

Passo 3

A lei adiabática dá
P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad P_{2}=P_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma}.
Substituindo V_{1}/V_{2}=5/1{,}5\approx3{,}333 e P_{1}=1,atm,
P_{2} =1\;\text{atm}\times(3{,}333)^{1{,}4157} \approx5{,}5\;\text{atm},
ou em pascal P_{2}\approx5{,}5\times1{,}013\times10^{5},Pa \approx5{,}6\times10^{5},Pa.

Passo 4

A relação adiabática também dá
T_{2}=T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1}.
Como \gamma-1\approx0{,}4157 e V_{1}/V_{2}\approx3{,}333,
T_{2} =220\;\text{K}\times(3{,}333)^{0{,}4157} \approx220\times1{,}651 \approx363{,}2\;\text{K}.

Passo 5

A variação da energia interna (energia cinética de translação de todas as moléculas) é
\Delta U =n\,\Cv\,(T_{2}-T_{1}) =2\;\text{mol}\times20\;\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \times(363{,}2-220)\;\text{K} \approx2\times20\times143{,}2 \approx5\,728\;\text{J}.

Resposta

(a) P_{2}\approx5{,}5,atm ( \approx5,6\times10^{5},Pa)
(b) \Delta U\approx5{,}7\times10^{3},J

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