Qual é a energia cinética translacional média de uma molécula de gás ideal a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} ? (a) 6,21 \times 10^{-21} \mathrm{~J} (b) Qual é a energia cinética translacional aleatória das moléculas em 1 mol desse gás? (b) 3740 J (c) Qual é a velocidade quadrática média das moléculas de oxigênio ( \mathrm{M}=32 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) nessa temperatura? (c) 484 \mathrm{~m} / \mathrm{s} Resp.: (a) 6,21 \times 10^{-21} \mathrm{~J} (b) 3740 J (c) 484 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede três coisas a T=27^\circ\mathrm{C}:
  1. A energia cinética translacional média de uma molécula de gás ideal.
  2. A energia cinética translacional total de 1 mol desse gás.
  3. A velocidade quadrática média ( v_{\rm rms}) de moléculas de oxigênio ( M=32\\ \mathrm{g/mol}).
    Usaremos o Teorema da Equipartição de Energia, que dá para cada grau de liberdade translacional
\text{energia média por molécula}=\tfrac{1}{2}k_B T,éé
e como há três graus de liberdade,
\text{energia cinética média por molécula}=\tfrac{3}{2}k_B T.ééé

Passo 2

Primeiro convertemos a temperatura para Kelvin:
T = 27^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}\approx300\\ \mathrm{K}.
Agora aplicamos
K_{\rm avg}=\tfrac{3}{2}k_B T,
onde k_B=1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}. Substituindo,
K_{\rm avg}=\tfrac{3}{2}\times1{,}38\times10^{-23}\times300\approx6{,}21\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Para 1 mol de moléculas, usamos N_A k_B = R. Logo
K_{1\,\mathrm{mol}}=N_A\,K_{\rm avg}=\tfrac{3}{2}R\,T,
com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T\approx300\\ \mathrm{K}. Assim,
K_{1\,\mathrm{mol}}=\tfrac{3}{2}\times8{,}314\times300\approx3{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

A velocidade quadrática média é
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde M deve estar em kg/mol: M=32\\ \mathrm{g/mol}=0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}. Então
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3\times8{,}314\times300}{0{,}032}}\approx4{,}84\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 6,21\times10^{-21}\\ \mathrm{J}
(b) 3{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J}
(c) 4,84\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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