(a) Qual o livre caminho médio de moléculas de oxigênio a uma temperatura de 300 K e uma pressão de 1 atm? Suponha o diâmetro das moléculas 290 pm e que o gás é ideal. (a) 1,12 \times 10^{-7} \mathrm{~m} (b) A velocidade média das moléculas de oxigênio à temperatura de 300 K é 445 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o tempo médio entre colisões para qualquer molécula? (b) 2,5 \times 10^{-10} \mathrm{~s} (c) Qual é a frequência das colisões? (c) 4 \times 10^{9} \mathrm{~s}^{-1} Resp.: (a) 1,12 \times 10^{-7} \mathrm{~m} (b) 2,5 \times 10^{-10} \mathrm{~s} (c) 4 \times 10^{9} \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede o livre caminho médio \lambda de moléculas de oxigênio a T=300\text{ K} e p=1\text{ atm}, depois o tempo médio entre colisões \tau usando a velocidade média \bar v=445\text{ m/s} e, por fim, a frequência de colisões f. Vamos usar a teoria cinética dos gases ideais com as fórmulas:
– densidade numérica
n = \frac{p}{k_B\,T},
– livre caminho médio
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,n},
– tempo médio entre colisões
\tau = \frac{\lambda}{\bar v},
– frequência de colisões
f = \frac{1}{\tau}.

Passo 2

Para calcular a densidade numérica n usamos
n = \frac{p}{k_B\,T},
com p = 1{,}013\times10^5\text{ Pa}, k_B = 1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K} e T = 300\text{ K}. Substituindo,
n = \frac{1,013\times10^5}{1,381\times10^{-23}\times300} \approx 2,45\times10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

O livre caminho médio vale
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,n},
onde o diâmetro molecular é d=290\text{ pm}=2,90\times10^{-10}\text{ m}. Logo,
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi\,(2,90\times10^{-10})^2 \times2,45\times10^{25}} \approx 1,12\times10^{-7}\,\mathrm{m}.

Passo 4

O tempo médio entre colisões é
\tau = \frac{\lambda}{\bar v},
com \bar v = 445\text{ m/s}. Assim,
\tau = \frac{1,12\times10^{-7}}{445} \approx 2,52\times10^{-10}\,\mathrm{s},
que arredondamos para
\tau \approx 2,5\times10^{-10}\,\mathrm{s}.

Passo 5

A frequência de colisões é
f = \frac{1}{\tau} \approx \frac{1}{2,5\times10^{-10}} \approx 4,0\times10^{9}\,\mathrm{s^{-1}}.

Resposta

(a) 1,12\times10^{-7}\,\mathrm{m}
(b) 2,5\times10^{-10}\,\mathrm{s}
(c) 4,0\times10^{9}\,\mathrm{s^{-1}}

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