Dadas as funções:
f(x)=\frac{x}{x-6}, g(x)=\frac{x-9}{(x+5)(x-2)} e h(x)=\frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}.
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int \frac{x}{x-6} d x=x+6 \ln |x-6|+C
II. \int \frac{x-9}{(x+5)(x-2)} d x=2 \ln |x+5|+C
III. \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1} d x=2 \ln \frac{3}{2}
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado pede para checar três integrais de funções racionais usando técnicas de frações parciais ou divisão de polinômios. O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e integração de funções do tipo \frac{1}{ax+b}.

Passo 2

Para a afirmativa I, vemos
\int \frac{x}{x-6}\,dx =\int\Bigl(1+\frac{6}{x-6}\Bigr)\,dx =\int 1\,dx+6\int\frac{1}{x-6}\,dx =x+6\ln\lvert x-6\rvert+C.
Logo, I está correta.

Passo 3

Para a afirmativa II, fazemos frações parciais em
\frac{x-9}{(x+5)(x-2)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-2}.
Temos
x-9=A(x-2)+B(x+5)=(A+B)x+(-2A+5B),
de onde
A+B=1,\quad -2A+5B=-9\implies A=2,\;B=-1.
Logo,
\int\frac{x-9}{(x+5)(x-2)}\,dx =\int\Bigl(\frac{2}{x+5}-\frac{1}{x-2}\Bigr)\,dx =2\ln\lvert x+5\rvert-\ln\lvert x-2\rvert+C,
que não coincide com 2\ln\lvert x+5\rvert+C. Portanto, II está errada.

Passo 4

Para a afirmativa III,
\int_{0}^{1}\frac{2}{2x^{2}+3x+1}\,dx \quad\text{com }2x^{2}+3x+1=(2x+1)(x+1).
Fazendo frações parciais,
\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1},
de modo que
\int_{0}^{1}\frac{2}{2x^{2}+3x+1}\,dx =\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx =2\ln\frac{2x+1}{x+1}\Big\vert_{0}^{1} =2\ln\frac{3/2}{1} =2\ln\frac{3}{2}.
Logo, III está correta.

Resposta

É correto o que se afirma em I e III.

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