Exercício 18. (Domingues, Callioli, Costa Capítulo 3 exercício 10 e 11) Seja V um espaço vetorial e u1, ldots, uk subset V um conjunto linearmente independente.
Mostre que a1 u1, ldots, ak uk é linearmente independente, sempre que aj neq 0, para todo j=1, ldots, k.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V e parte de um conjunto u1,ldots,uk linearmente independente. Queremos mostrar que, se cada vetor uj é escalado por um escalar não nulo aj, o novo conjunto a1u1,ldots,akuk também é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto v1,ldots,vksubset V é linearmente independente se, sempre que
beta1v1 + cdots + betakvk = 0,
segue-se que beta1 = cdots = betak = 0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha1,ldots,alphak em que
alpha1(a1u1) + cdots + alphak(akuk) ;=; 0
Nosso objetivo é mostrar que cada alphaj deve ser zero.

Passo 3

Como multiplicação de escalar é associativa, podemos agrupar coeficiente e vetor:
(alpha1a1),u1 + cdots + (alphakak),uk = 0
Mas sabemos que u1,ldots,uk é linearmente independente, logo cada coeficiente deve se anular:
alphaj,aj = 0 para todo j=1,ldots,k
Como ajneq 0 por hipótese, precisamos ter alphaj=0 para cada j.

Resposta

O conjunto a1u1,ldots,akuk é linearmente independente sempre que ajneq 0 para todo j=1,ldots,k.

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