Exercício 18. (Domingues, Callioli, Costa Capítulo 3 exercício 10 e 11) Seja
um espaço vetorial e
um conjunto linearmente independente.
Mostre que
é linearmente independente, sempre que
, para todo
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial
e parte de um conjunto
linearmente independente. Queremos mostrar que, se cada vetor
é escalado por um escalar não nulo
, o novo conjunto
também é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto
é linearmente independente se, sempre que
segue-se que
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
em que
Nosso objetivo é mostrar que cada
deve ser zero.
Passo 3
Como multiplicação de escalar é associativa, podemos agrupar coeficiente e vetor:
Mas sabemos que
é linearmente independente, logo cada coeficiente deve se anular:
Como
por hipótese, precisamos ter
para cada
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente sempre que
para todo
.