3.7D Para uma altitude
de dez mil metros, a desnsidade
da atmosfera terrestre é aproximada por
. Estime a massa de uma coluna de ar de 10 quilômetros de altura com base circular de 3 metros de raio.
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma coluna de ar de altura
(ou seja,
) cujo raio da base é
. A densidade varia com a altitude
conforme
em
. Para encontrar a massa, vamos usar a integral definida da densidade vezes o volume diferencial, i.e.,
onde
é a área da base.
Passo 2
Calculamos primeiro a área da base circular de raio
:
Logo
Passo 3
Vamos computar a integral termo a termo:
Somando, obtemos
Passo 4
Multiplicando pela área da base, a massa da coluna é
Resposta
A massa estimada da coluna de ar é aproximadamente
.