3.7D Para uma altitude z de dez mil metros, a desnsidade sigma(em kg / m^3) da atmosfera terrestre é aproximada por sigma=1.2-(1.05 times 10^-4) z+(2.6 times 10^-9) z^2. Estime a massa de uma coluna de ar de 10 quilômetros de altura com base circular de 3 metros de raio.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma coluna de ar de altura 10 km (ou seja, 10000 m) cujo raio da base é 3 m. A densidade varia com a altitude z conforme
sigma(z)=1,2 - l(1,05times10^-4r)z + l(2,6times10^-9r)z^2
em kg/m^3. Para encontrar a massa, vamos usar a integral definida da densidade vezes o volume diferencial, i.e.,
m = integral0^10000 sigma(z),A,dz,
onde A é a área da base.

Passo 2

Calculamos primeiro a área da base circular de raio r=3 m:
A = pi r^2 = pi ,(3)^2 = 9pi (m^2)
Logo
m = 9pi integral0^10000 l(1,2 - 1,05times10^-4,z + 2,6times10^-9,z^2r),dz

Passo 3

Vamos computar a integral termo a termo:
integral0^100001,2,dz = 1,2times10000 = 12000,
integral0^10000-1,05times10^-4,z,dz = -1,05times10^-4times10000^22 = -5250,
integral0^100002,6times10^-9,z^2,dz = 2,6times10^-9times10000^33approx 866,667
Somando, obtemos
integral0^10000sigma(z),dz = 12000 - 5250 + 866,667 = 7616,667(kg/m^2)

Passo 4

Multiplicando pela área da base, a massa da coluna é
m = 9pi times 7616,667 approx 2,15times10^5 kg

Resposta

A massa estimada da coluna de ar é aproximadamente 2,15times10^5 kg.

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