2.7E Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano R^2 ?
(a) z=e^x^2-y^2
(b) z=e^-x^2-y^2
(c) z=x^2-2 x(sen y+cos y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a função
;z=f(x,y) definida em R^2 admite valor máximo ou valor mínimo global.
O conteúdo envolve análise de limites no infinito e localização de extremos globais.

Passo 2

Para
z = e^,x^2-y^2,
observamos que o expoente x^2-y^2 pode crescer sem limite positivo (por exemplo xtoinfty, y=0) e pode tornar-se arbitrariamente negativo (por exemplo ytoinfty, x=0).
Logo sup z = +infty e inf z = 0, mas z nunca atinge 0 nem infty em ponto algum de R^2.
Conclusão: não há nem máximo nem mínimo global.

Passo 3

Para
z = e^-x^2-y^2,
o expoente -x^2-y^2 satisfaz -x^2-y^2<=0, de modo que
0< z <= 1
O valor máximo z=1 ocorre em (x,y)=(0,0).
À medida que |(x,y)|toinfty, zto 0, mas z nunca atinge 0.
Conclusão: há máximo global em (0,0) com zmax=1, não há mínimo global.

Passo 4

Para
z = x^2-2,xl(sin y+cos yr),
fixamos y e vemos z como função de x:
z(x) = x^2 - 2A,x, A = sin y + cos y
Essa parábola em x tem mínimo quando x = A, cujo valor é
zmin(y) = A^2 - 2Acdot A = -A^2 = -l(sin y+cos yr)^2
Como
sin y+cos y = raiz2,sinl(y+tfracpi4r),
temos
0 <= (sin y+cos y)^2 <= 2 implies -2 <= -(sin y+cos y)^2 <= 0
Portanto
— o maior valor de -(sin y+cos y)^2 é 0, atingido quando sin y+cos y=0, e
— o menor valor é -2, atingido quando |sin y+cos y|=raiz2.
Assim z atinge máximo global 0 e mínimo global -2 em pontos adequados de R^2.

Resposta

(a) não tem nem máximo nem mínimo global.
(b) tem máximo global igual a 1 em (0,0) e não tem mínimo.
(c) tem máximo global 0 e mínimo global -2.

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