2.7E Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano
?
(a)
(b)
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada caso, se a função
definida em
admite valor máximo ou valor mínimo global.
O conteúdo envolve análise de limites no infinito e localização de extremos globais.
O conteúdo envolve análise de limites no infinito e localização de extremos globais.
Passo 2
Para
observamos que o expoente
pode crescer sem limite positivo (por exemplo
,
) e pode tornar-se arbitrariamente negativo (por exemplo
,
).
Logo e
, mas
nunca atinge
nem
em ponto algum de
.
Conclusão: não há nem máximo nem mínimo global.
Logo
Conclusão: não há nem máximo nem mínimo global.
Passo 3
Para
o expoente
satisfaz
, de modo que
O valor máximo
ocorre em
.
À medida que ,
, mas
nunca atinge
.
Conclusão: há máximo global em com
, não há mínimo global.
À medida que
Conclusão: há máximo global em
Passo 4
Para
fixamos
e vemos
como função de
:
Essa parábola em
tem mínimo quando
, cujo valor é
Como
temos
Portanto
— o maior valor de é
, atingido quando
, e
— o menor valor é , atingido quando
.
Assim atinge máximo global
e mínimo global
em pontos adequados de
.
— o maior valor de
— o menor valor é
Assim
Resposta
(a) não tem nem máximo nem mínimo global.
(b) tem máximo global igual a em
e não tem mínimo.
(c) tem máximo global e mínimo global
.
(b) tem máximo global igual a
(c) tem máximo global