Considere a função
f(x)=3 x^5-5 x^3+2 x+raizxx^3
(a) Obtenha a derivada dessa função pela regra do quociente.
(b) Simplifique a expressão de f(x) e então obtenha a derivada da forma simplificada. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada de
f(x)=3x^5-5x^3+2x+raizxx^3
de duas maneiras: (a) aplicando a regra do quociente diretamente, e (b) simplificando f(x) em potências de x e derivando termo a termo. O conteúdo envolvido inclui a regra do quociente e a derivação de potências, bem como manipulação de expoentes racionais.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, definimos
u(x)=3x^5-5x^3+2x+raizx, v(x)=x^3
Calculamos as derivadas
u'(x)=15x^4-15x^2+2+tfrac12x^-tfrac12, v'(x)=3x^2
A regra do quociente diz:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =u'(x),x^3-;u(x),3x^2x^6

Passo 3

Expandindo o numerador:
u'(x),x^3 =l(15x^4-15x^2+2+tfrac12x^-tfrac12r)x^3 =15x^7-15x^5+2x^3+tfrac12x^tfrac52,
u(x),3x^2 =3x^2l(3x^5-5x^3+2x+x^tfrac12r) =9x^7-15x^5+6x^3+3x^tfrac52
Subtraindo, o numerador fica
15x^7-15x^5+2x^3+tfrac12x^tfrac52 -l(9x^7-15x^5+6x^3+3x^tfrac52r) =6x^7-4x^3-tfrac52x^tfrac52
Logo,
f'(x) =6x^7-4x^3-tfrac52x^tfrac52x^6

Passo 4

Dividindo cada termo por x^6,
f'(x) =6x-4x^-3-52x^-tfrac72

Passo 5

Para a forma simplificada de f(x), escrevemos
f(x)=3x^2-5+2x^-2+x^-tfrac52
Derivando termo a termo:
ddx(3x^2)=6x, ddx(-5)=0, ddx(2x^-2)=-4x^-3, ddx(x^-tfrac52)=-52x^-tfrac72
Somando,
f'(x)=6x-4x^-3-52x^-tfrac72,
que coincide com o resultado obtido pela regra do quociente.

Resposta

(a) Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=6x-4x^-3-52x^-tfrac72
(b) Simplificando f(x) antes de derivar e derivando termo a termo, obtemos o mesmo
f'(x)=6x-4x^-3-52x^-tfrac72

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