Considere a função
(a) Obtenha a derivada dessa função pela regra do quociente.
(b) Simplifique a expressão de
e então obtenha a derivada da forma simplificada. Compare os resultados.
(b) Simplifique a expressão de
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada de
de duas maneiras: (a) aplicando a regra do quociente diretamente, e (b) simplificando
em potências de
e derivando termo a termo. O conteúdo envolvido inclui a regra do quociente e a derivação de potências, bem como manipulação de expoentes racionais.
Passo 2
Para usar a regra do quociente, definimos
Calculamos as derivadas
A regra do quociente diz:
Passo 3
Expandindo o numerador:
Subtraindo, o numerador fica
Logo,
Passo 4
Dividindo cada termo por
,
Passo 5
Para a forma simplificada de
, escrevemos
Derivando termo a termo:
Somando,
que coincide com o resultado obtido pela regra do quociente.
Resposta
(a) Aplicando a regra do quociente:
(b) Simplificando
antes de derivar e derivando termo a termo, obtemos o mesmo