Exercício 14. (Apostol seção 14.22 exercícios 1 e 2) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de uma dimensão com funções de distribuição FX, FY e função de distribuição conjunta F.
a) Prove que X e Y são independentes se, e somente se,
P(a<X <= b, c<Y <= d)=P(a<X <= b) P(c<Y <= d),
para todo a<b e c<d.
b) Considere o caso discreto. Assuma que x1, x2, ldots e y1, y2, ldots são pontos de massa de X e Y, respectivamente. Seja ai=P(X=xi), bj=P(Y=yj) e pi j=P(Y=xi, Y=yj). Mostre que X e Y são independentes se, e somente se, pi j=ai bj para todo i, j.
c) Assuma que X e Y sejam contínuas e possuem funções de densidades fX e fY continuas. Suponha que F também tenha uma função de densidade contínua f. Mostre que X e Y são independentes se, e somente se, f(x, y)=fX(x) fY(y). (Dica: Expresse a função de densidade como derivada da função de distribuição).
No caso em que X e Y assumem valores x1, x2, y1 e y2, respectivamente, suponha que P(X=x1, Y=y1)= P(X=x2, Y=y2)=p2 e P(X=x1, Y=y2)=P(X=x2, Y=y1)=12, em que p+q=1, p e q são >= 0.
d) Determine P(X=xi), P(Y=yj) para todo i e j entre 1 e 2 .
e) Para quais valores p as variáveis X e Y são independentes.

Passo 1

O enunciado apresenta duas variáveis aleatórias unidimensionais X e Y com funções de distribuição marginais FX,FY e conjunta F.
a) Mostrar que independência equivale a
P(a<X<= b,;c<Y<= d)=P(a<X<= b),P(c<Y<= d)
para todo a<b, c<d.
b) No caso discreto geral, provar que independência iff pij=ai,bj, onde pij=P(X=xi,Y=yj).
c) No caso contínuo, usar que
f(x,y)=partial^2partial x,partial yF(x,y),
para mostrar que independência iff f(x,y)=fX(x),fY(y).
Em seguida, no exemplo com valores x1,x2timesy1,y2 e
P(X=x1,Y=y1)=P(X=x2,Y=y2)=p2, P(X=x1,Y=y2)=P(X=x2,Y=y1)=q2, p+q=1,
devemos
d) calcular P(X=xi) e P(Y=yj),
e) determinar para quais p há independência.

Passo 2

Prova de (a).
– Se e são independentes, então as -álgebras geradas por e são independentes. Em particular, para os eventos
vale
o que é exatamente
– Reciprocamente, os retângulos com e geram a -álgebra produto em . Se a igualdade acima vale para todo retângulo, então ela estende-se a qualquer conjunto mensurável na -álgebra gerada por e , o que implica independência de e .

Passo 3

Prova de (b) no caso discreto geral.
As variáveis X e Y tomam valores nos pontos de massa xi e yj.
– Se são independentes, então para cada par (i,j)
P(X=xi,;Y=yj)=P(X=xi),P(Y=yj),
isto é,
pij=ai,bj
– Para a recíproca, note que os eventos atômicos X=xi e Y=yj geram toda a sigma-álgebra discreta. Se P(X=xicapY=yj)=ai bj para todo i,j, então quaisquer eventos gerados por X e por Y são independentes, logo X e Y são independentes.

Passo 4

Prova de (c) no caso contínuo.
Suponha que F seja duas vezes parcialmente diferenciável e que fX,fY,f sejam as densidades respectivas.
– Se X e Y são independentes, então F(x,y)=FX(x),FY(y). Derivando em relação a x e depois a y,
f(x,y) =partial^2partial x,partial yF(x,y) =partialpartial xl(FX(x),fY(y)r) =fX(x),fY(y)
– Reciprocamente, se f(x,y)=fX(x),fY(y), ao integrar em (-infty,x]times(-infty,y] obtemos
F(x,y) =integral-infty^x!integral-infty^y f(u,v),dv,du =l(integral-infty^x fX(u),dur)l(integral-infty^y fY(v),dvr) =FX(x),FY(y),
o que, pela parte (a), garante independência.

Passo 5

Cálculo das marginais do exemplo (d).
Para
Analogamente para (j=1,2]:

Passo 6

Determinação de p para independência (e).
Para independência discreta precisa-se de
P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi),P(Y=yj)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14
Logo nos quatro casos devemos ter
tfrac p2=tfrac14 e tfrac q2=tfrac14. Como p+q=1, basta
p= tfrac12, q= tfrac12

Resposta

a) Demonstrado que independência de X,Y é equivalente a
P(a<X<= b,;c<Y<= d)=P(a<X<= b),P(c<Y<= d)
b) No caso discreto geral, X e Y são independentes iff pij=ai,bj.
c) No caso contínuo, X e Y são independentes iff f(x,y)=fX(x),fY(y).
d) P(X=xi)=tfrac12 e P(Y=yj)=tfrac12 para i,j=1,2.
e) As variáveis são independentes somente se p=tfrac12.

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