Exercício 14. (Apostol seção 14.22 exercícios 1 e 2) Sejam
e
duas variáveis aleatórias de uma dimensão com funções de distribuição
e função de distribuição conjunta
.
a) Prove que
e
são independentes se, e somente se,
para todo
e
.
b) Considere o caso discreto. Assuma que
e
são pontos de massa de
e
, respectivamente. Seja
e
. Mostre que
e
são independentes se, e somente se,
para todo
.
c) Assuma que
e
sejam contínuas e possuem funções de densidades
e
continuas. Suponha que
também tenha uma função de densidade contínua
. Mostre que
e
são independentes se, e somente se,
. (Dica: Expresse a função de densidade como derivada da função de distribuição).
No caso em que
e
assumem valores
e
, respectivamente, suponha que
e
, em que
e
são
.
d) Determine
para todo
e
entre 1 e 2 .
e) Para quais valores
as variáveis
e
são independentes.
a) Prove que
b) Considere o caso discreto. Assuma que
c) Assuma que
d) Determine
e) Para quais valores
Passo 1
O enunciado apresenta duas variáveis aleatórias unidimensionais
e
com funções de distribuição marginais
e conjunta
.
a) Mostrar que independência equivale a
a) Mostrar que independência equivale a
para todo
,
.
b) No caso discreto geral, provar que independência , onde
.
c) No caso contínuo, usar que
b) No caso discreto geral, provar que independência
c) No caso contínuo, usar que
para mostrar que independência
.
Em seguida, no exemplo com valores e
Em seguida, no exemplo com valores
devemos
d) calcular e
,
e) determinar para quais há independência.
d) calcular
e) determinar para quais
Passo 2
Prova de (a).
– Se e
são independentes, então as
-álgebras geradas por
e
são independentes. Em particular, para os eventos
– Se
vale
o que é exatamente
– Reciprocamente, os retângulos
com
e
geram a
-álgebra produto em . Se a igualdade acima vale para todo retângulo, então ela estende-se a qualquer conjunto mensurável na
-álgebra gerada por
e
, o que implica independência de
e
.
Passo 3
Prova de (b) no caso discreto geral.
As variáveis e
tomam valores nos pontos de massa
e
.
– Se são independentes, então para cada par
As variáveis
– Se são independentes, então para cada par
isto é,
– Para a recíproca, note que os eventos atômicos
e
geram toda a
-álgebra discreta. Se
para todo
, então quaisquer eventos gerados por
e por
são independentes, logo
e
são independentes.
Passo 4
Prova de (c) no caso contínuo.
Suponha que seja duas vezes parcialmente diferenciável e que
sejam as densidades respectivas.
– Se e
são independentes, então
. Derivando em relação a
e depois a
,
Suponha que
– Se
– Reciprocamente, se
, ao integrar em
obtemos
o que, pela parte (a), garante independência.
Passo 5
Cálculo das marginais do exemplo (d).
Para
Analogamente para (j=1,2]:
Passo 6
Determinação de
para independência (e).
Para independência discreta precisa-se de
Para independência discreta precisa-se de
Logo nos quatro casos devemos ter
e
. Como
, basta
Resposta
a) Demonstrado que independência de
é equivalente a
b) No caso discreto geral,
e
são independentes
.
c) No caso contínuo, e
são independentes
.
d) e
para
.
e) As variáveis são independentes somente se .
c) No caso contínuo,
d)
e) As variáveis são independentes somente se