2.7G Determine a distância (mínima) da origem à curva y^2=(x-1)^3. Por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica nesse caso?

Passo 1

O enunciado pede a mínima distância da origem ao conjunto de pontos (x,y) que satisfazem ,y^2=(x-1)^3. Para resolver, vamos usar uma representação paramétrica da curva e otimização de função de uma só variável. Depois, explicamos por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica, pois a condição de regularidade falha.

Passo 2

Observe que a curva y^2=(x-1)^3 é a semicúbica parábola com cusp em (1,0). Uma parametrização que a descreve completamente é
x = 1 + t^2, y = t^3, tinR

Passo 3

A distância ao quadrado do ponto (x(t),y(t)) à origem é
D(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2 = (1 + t^2)^2 + (t^3)^2
Expandindo,
D(t)^2 = 1 + 2t^2 + t^4 + t^6

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos D(t)^2 em relação a t:
ddtD(t)^2 = 4t + 4t^3 + 6t^5 = 2tl(2 + 2t^2 + 3t^4r)
A única raiz real é t=0, pois 2 + 2t^2 + 3t^4>0 para todo t.

Passo 5

Em t=0 temos
(x,y) = (1,0),
portanto a distância mínima é
Dmin = raiz1^2+0^2 = 1

Passo 6

Se tentássemos usar Lagrange com g(x,y)=y^2-(x-1)^3=0, teríamos
nabla g(x,y) = l(-3(x-1)^2,,2yr),
que em (1,0) vale (0,0). Como o gradiente do constrangimento se anula, a condição de regularidade falha e o método de Lagrange não pode ser aplicado.

Resposta

A distância mínima da origem à curva ,y^2=(x-1)^3 é 1, e o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica porque o gradiente do constrangimento é nulo no ponto ótimo, configurando um ponto singular (cusp).

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