2.7G Determine a distância (mínima) da origem à curva
. Por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica nesse caso?
Passo 1
O enunciado pede a mínima distância da origem ao conjunto de pontos
que satisfazem
. Para resolver, vamos usar uma representação paramétrica da curva e otimização de função de uma só variável. Depois, explicamos por que o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica, pois a condição de regularidade falha.
Passo 2
Observe que a curva
é a semicúbica parábola com cusp em
. Uma parametrização que a descreve completamente é
Passo 3
A distância ao quadrado do ponto
à origem é
Expandindo,
Passo 4
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
:
A única raiz real é
, pois
para todo
.
Passo 5
Em
temos
portanto a distância mínima é
Passo 6
Se tentássemos usar Lagrange com
, teríamos
que em
vale
. Como o gradiente do constrangimento se anula, a condição de regularidade falha e o método de Lagrange não pode ser aplicado.
Resposta
A distância mínima da origem à curva
é
, e o Método dos Multiplicadores de Lagrange não se aplica porque o gradiente do constrangimento é nulo no ponto ótimo, configurando um ponto singular (cusp).