Exercício 16. (Apostol seção 14.24 exercícios 1 e 2) Sejam e duas variáveis aleatórias independentes e de dimensão um, cada uma com distribuição uniforme sobre .
Sejam e .
a) Prove que tem uma distribuição de densidade contínua dada por
b) Descreva de numa forma similar a densidade contínua fV de V.
c) Determine se U e V são independentes ou não.
Sejam agora U=max X, Y e V=min X, Y.
d) Prove que U tem uma distribuição de densidade fU dada por
fU(u)=c2 u, 0<u <= 1 0, de outra forma
e) Descreve a função de densidade fV para V
f) Determine se U e V são independentes ou não.
Passo 1
Temos X e Y independentes, cada uma Unif(0,1). Primeiro definimos
U=X+Y, V=X-Y
Para achar as densidades marginais de U e de V usamos convolução de densidades. Para testar independência calculamos a densidade conjunta via mudança de variáveis e Jacobiano. Depois repetimos o processo para
U=maxX,Y, V=minX,Y,
usando distribuição de ordem.
Passo 2
(a) Densidade de U=X+Y por convolução. Como fX(x)=fY(y)=1 em [0,1],
Jacobian l|det Jr|=1/2. A região 0<= x,y<=1 vira um losango no plano (u,v), onde fU,V(u,v)=1cdot12. Esse valor constante não se factoriza em fU(u),fV(v), logo U e Vnão são independentes.
Passo 7
(d) Agora U=maxX,Y. Para uin[0,1],
FU(u)=P(U<= u)=P(X<= u,;Y<= u)=u^2,
logo
fU(u)=dduu^2=2u, 0<u<1
Passo 8
(e) Para V=minX,Y temos
P(V>v)=P(X>v,;Y>v)=(1-v)^2,
então
FV(v)=1-(1-v)^2, fV(v)=ddvFV(v)=2(1-v), 0<v<1
Passo 9
(f) A densidade conjunta de (U,V) como ordem estatística é
fU,V(u,v)=2para 0<= v<= u<=1
Como fU(u),fV(v)=2ucdot2(1-v)=4u(1-v)neq2, U e Vnão são independentes.