Exercício 16. (Apostol seção 14.24 exercícios 1 e 2) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e de dimensão um, cada uma com distribuição uniforme sobre [0,1].
Sejam U=X+Y e V=X-Y.
a) Prove que U tem uma distribuição de densidade contínua fU dada por
fU(u)=c u, 0<u <= 1 2-u, 1<u<2 0, de outra forma
b) Descreva de numa forma similar a densidade contínua fV de V.
c) Determine se U e V são independentes ou não.
Sejam agora U=max X, Y e V=min X, Y.
d) Prove que U tem uma distribuição de densidade fU dada por
fU(u)=c2 u, 0<u <= 1 0, de outra forma
e) Descreve a função de densidade fV para V
f) Determine se U e V são independentes ou não.

Passo 1

Temos X e Y independentes, cada uma Unif(0,1). Primeiro definimos
U=X+Y, V=X-Y
Para achar as densidades marginais de U e de V usamos convolução de densidades. Para testar independência calculamos a densidade conjunta via mudança de variáveis e Jacobiano. Depois repetimos o processo para
U=maxX,Y, V=minX,Y,
usando distribuição de ordem.

Passo 2

(a) Densidade de U=X+Y por convolução. Como fX(x)=fY(y)=1 em [0,1],
fU(u)=integral-infty^inftyfX(x),fY(u-x),dx =integral0^11cdot10<= u-x<=1,dx
O indicador força xin[max(0,u-1),,min(u,1)].

Passo 3

Integramos em cada faixa de u:
para 0<u<=1: fU(u)=integral0^udx = u,
para 1<u<2: fU(u)=integralu-1^1dx =2-u,
e fora disso vale zero.

Passo 4

(b) Densidade de V=X-Y por convolução de diferença:
fV(v)=integral-infty^inftyfX(x),fY(x-v),dx =integral0^110<= x-v<=1,dx
O indicador dá xin[max(0,v),,min(1,1+v)].

Passo 5

Assim
para -1<v<0: fV(v)=integral0^1+vdx=1+v,
para 0<v<1: fV(v)=integralv^1dx=1-v,
e zero fora desse intervalo.

Passo 6

(c) Mudança de variáveis (x,y)mapsto(u,v) com
x=u+v2, y=u-v2,
Jacobian l|det Jr|=1/2. A região 0<= x,y<=1 vira um losango no plano (u,v), onde fU,V(u,v)=1cdot12. Esse valor constante não se factoriza em fU(u),fV(v), logo U e V não são independentes.

Passo 7

(d) Agora U=maxX,Y. Para uin[0,1],
FU(u)=P(U<= u)=P(X<= u,;Y<= u)=u^2,
logo
fU(u)=dduu^2=2u, 0<u<1

Passo 8

(e) Para V=minX,Y temos
P(V>v)=P(X>v,;Y>v)=(1-v)^2,
então
FV(v)=1-(1-v)^2, fV(v)=ddvFV(v)=2(1-v), 0<v<1

Passo 9

(f) A densidade conjunta de (U,V) como ordem estatística é
fU,V(u,v)=2para 0<= v<= u<=1
Como fU(u),fV(v)=2ucdot2(1-v)=4u(1-v)neq2, U e V não são independentes.

Resposta

(a)
á
(b)
á
(c) [U) e não são independentes.
(d)
á
(e)
á
(f) não são independentes.

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