Em um algoritmo de rotação de objetos 3D, o vetor r foi definido na base:
B=(2,1,0),(1,2,1),(0,1,2)
como [r]B=(1,1,1). Converta r para a base:
C=(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá o vetor r na base
B=(2,1,0),,(1,2,1),,(0,1,2)
com coordenadas
[ r]B=(1,1,1),
e pede para encontrar as coordenadas de r na base
C=(1,1,1),,(1,0,1),,(0,1,1)

Passo 2

Primeiro vamos escrever r na base canônica. Como
[ r]B=(1,1,1),
temos
r =1cdot(2,1,0)+1cdot(1,2,1)+1cdot(0,1,2) =(3,4,3)

Passo 3

Agora queremos alpha,beta,gamma tais que
alpha,(1,1,1)+beta,(1,0,1)+gamma,(0,1,1)=(3,4,3)
Isso gera o sistema de equações de componentes:
alpha+beta=3
alpha+gamma=4
alpha+beta+gamma=3

Passo 4

Da primeira equação beta=3-alpha. Da segunda gamma=4-alpha. Substituindo na terceira:
alpha+(3-alpha)+(4-alpha)=3 Longrightarrow 7-alpha=3 Longrightarrow alpha=4
Então
beta=3-4=-1, gamma=4-4=0

Resposta

[ r]C=(4,-1,0)

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