Q5.(0.7pt) A equação de uma reta que é tangente ao gráfico de f(x)=21+x e que passa por P(-4,2) é:
(a) y-2=29(x+4)
(b) y-2=23(x+4)
© y-2=-23(x+4)
(d) y-2=-29(x+4)
(e) nenhuma das anteriores

Passo 1

Temos a função f(x)=21+x e o ponto externo P(-4,2). Queremos a reta tangente ao gráfico de f que passe por P, o que envolve derivada para achar o coeficiente angular e a equação de reta ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando regra do quociente ou potência invertida:
f'(x)=-2(1+x)^2

Passo 3

Chamando a a abscissa do ponto de tangência, o ponto é l(a,,f(a)r)=l(a,,tfrac21+ar) e o coeficiente angular vale m=f'(a)=-tfrac2(1+a)^2. A equação da reta é y-tfrac21+a=m(x-a). Impomos que ela passe por P(-4,2), ou seja:
2-21+a=-2(1+a)^2,(-4-a)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (1+a)^2 e simplificando chega-se a a^2=4, logo a=2 ou a=-2. Para a=2 obtemos m=-tfrac29 e a reta
y-23=-29(x-2)
que reescrita passando por P(-4,2) vira y-2=-tfrac29(x+4). Para a=-2 a reta seria y=-2x-6, não listada nas opções.

Passo 5

Das alternativas dadas só bate com y-2=-tfrac29(x+4), isto é a opção (d).

Resposta

y-2=-29(x+4)

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