[8,0] Resolver as integrais
integral sen^4 phi d phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de sin^4 phi , dphi. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elevar o seno a uma potência par, como sin^4 phi, pode ser simplificado usando uma identidade de redução de potência. A identidade que vamos usar é:
sin^2 phi = 1 - cos(2phi)2

Passo 3

Como temos sin^4 phi, podemos reescrever isso como (sin^2 phi)^2. Então, vamos substituir usando a identidade que acabamos de lembrar:
sin^4 phi = (1 - cos(2phi)2)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir o quadrado:
sin^4 phi = 1 - 2cos(2phi) + cos^2(2phi)4

Passo 5

A integral agora fica:
integral sin^4 phi , dphi = integral 1 - 2cos(2phi) + cos^2(2phi)4 , dphi
Podemos separar essa integral em três partes:
14 integral 1 , dphi - 24 integral cos(2phi) , dphi + 14 integral cos^2(2phi) , dphi

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
14 integral 1 , dphi = 14 phi
  1. Segunda integral:
- 24 integral cos(2phi) , dphi = - 12 cdot sin(2phi)2 = - sin(2phi)4
  1. Terceira integral:
Para cos^2(2phi), usamos outra identidade de redução de potência:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
Aplicando isso:
14 integral cos^2(2phi) , dphi = 14 integral 1 + cos(4phi)2 , dphi = 18 integral 1 , dphi + 18 integral cos(4phi) , dphi
Resolvendo essas integrais:
18 phi + 18 cdot sin(4phi)4 = 18 phi + sin(4phi)32

Passo 7

Agora, vamos juntar todas as partes que calculamos:
14 phi - sin(2phi)4 + 18 phi + sin(4phi)32 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando os termos semelhantes:
(14 + 18) phi = 38 phi
Então, a expressão final fica:
38 phi - sin(2phi)4 + sin(4phi)32 + C

Resposta

A integral de sin^4 phi , dphi é:
integral sin^4 phi , dphi = 38 phi - sin(2phi)4 + sin(4phi)32 + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados