[8,0] Resolver as integrais
integral tg^3 phi sec ^3 phi d phi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3phi ,sec^3phi,dphi
O conteúdo aqui envolve manipular potências de funções trigonométricas usando identidades e depois aplicar substituição simples.

Passo 2

Use a identidade tan^2phi = sec^2phi - 1 para reduzir a potência de tan. Assim,
tan^3phi = tanphi;tan^2phi = tanphi,l(sec^2phi - 1r)

Passo 3

Substituindo na integral e distribuindo, obtemos
integral tan^3phi,sec^3phi,dphi = integral tanphi,(sec^2phi - 1),sec^3phi,dphi = integral tanphi,sec^5phi,dphi ;-; integral tanphi,sec^3phi,dphi

Passo 4

Em cada termo, reconheça a forma secphitanphi,dphi. Faça a substituição
u = secphi, du = secphitanphi,dphi
Então
integral tanphi,sec^5phi,dphi = integral sec^4phi,(secphitanphi,dphi) = integral u^4,du,
e
integral tanphi,sec^3phi,dphi = integral sec^2phi,(secphitanphi,dphi) = integral u^2,du

Passo 5

Integre em u:
integral u^4,du = u^55, integral u^2,du = u^33

Passo 6

Voltando a phi (pois u=secphi), a integral original vale
u^55 ;-; u^33 + C = sec^5phi5 ;-; sec^3phi3 + C

Resposta

15,sec^5phi ;-; 13,sec^3phi + C

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