Encontre os valores de m de forma que a função y=e^m x seja a solução da equação diferencial dada.
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m tais que
y = e^m x
seja solução da equação diferencial linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 0
O conteúdo é “equações diferenciais lineares com coeficientes constantes” e a técnica é assumir uma solução do tipo exponencial e^m x, o que leva à chamada equação característica.

Passo 2

Supondo y = e^m x, calculamos as derivadas necessárias:
y' = ddxl(e^m xr) = m,e^m x,
y'' = ddxl(m,e^m xr) = m^2,e^m x

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
y'' - 5y' + 6y = m^2 e^m x - 5l(m e^m xr) + 6l(e^m xr) = l(m^2 - 5m + 6r)e^m x
Como e^m xneq0 para todo x, impomos
m^2 - 5m + 6 = 0,
que é a equação característica.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
m^2 - 5m + 6 = 0
fatoramos
m^2 - 5m + 6 = (m-2)(m-3)=0,
logo as raízes são
m = 2 ou m = 3

Resposta

Os valores de m que fazem y=e^m x solução da equação são
m = 2 e m = 3

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