Encontre os valores de m de forma que a função y=e^m x seja a solução da equação diferencial dada.
2 y^prime prime+7 y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para que a função y=e^mx seja solução da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''+7y'-4y=0
Usaremos o método da equação característica, substituindo y=e^mx e determinando m.

Passo 2

Para y=e^mx, calculamos
y'=m,e^mx, y''=m^2,e^mx
Substituindo na equação diferencial, vem
2l(m^2e^mxr)+7l(me^mxr)-4l(e^mxr)=0
Como e^mxneq0, podemos fatorar e obter a equação característica
2m^2+7m-4=0

Passo 3

Resolvendo
2m^2+7m-4=0
pelo discriminante, temos
De<a=7^2-4cdot2cdot(-4)=49+32=81,
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m=-7pmraiz812cdot2=-7pm94
Isto gera as raízes
m1=-7+94=12, m2=-7-94=-4

Resposta

m=tfrac12 ou m=-4

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