[8,0] Resolver as integrais
integral (x+1)^2(x+2)5+2 x+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (x+1)^2(x+2)5+2x+x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos primeiro fazer divisão de polinômios para separar em uma parte polinomial mais simples e uma parte que exige completamento de quadrado e decomposição em derivada de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Expandimos o numerador e dividimos por x^2+2x+5.
O numerador é
(x+1)^2(x+2)=x^3+4x^2+5x+2
Fazendo a divisão
x^3+4x^2+5x+2x^2+2x+5=x+2+-4x-8x^2+2x+5 =x+2-4(x+2)x^2+2x+5
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(x+1)^2(x+2)x^2+2x+5 =x+2-4(x+2)x^2+2x+5

Passo 3

Integramos a parte polinomial integral (x+2),dx:
integral (x+2),dx =x^22+2x

Passo 4

Agora tratamos
-4integral x+2x^2+2x+5,dx
Fazemos u=x+1, então x+2=u+1 e x^2+2x+5=u^2+4. Assim
integral x+2x^2+2x+5,dx =integral u+1u^2+4,du =underbrace12lnl(u^2+4r)I1 +underbrace12arctan!l(tfracu2r)I2
Multiplicando por -4
-4integral x+2x^2+2x+5,dx =-2lnl((x+1)^2+4r);-;2arctan!l(tfracx+12r)

Passo 5

Somando as partes de

Passo 6

x^22+2x ;-;2lnl((x+1)^2+4r) ;-;2arctan!l(tfracx+12r) +C

Resposta

integral (x+1)^2(x+2)5+2x+x^2,dx =x^22+2x -2lnl(x^2+2x+5r) -2arctan!l(tfracx+12r) +C

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