Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=lang<= t, cos t, 3 sen trang<=, -5 <= t <= 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
r(t)=lang<= t,cos t,3sen trang<=
no intervalo -5<= t<=5.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no espaço, cuja fórmula é
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r(t):
r'(t) =llang<= ddtt,;ddtcos t,;ddt(3sen t)rrang<= =lang<= 1,,-sen t,,3cos trang<=

Passo 3

Agora computamos o módulo de r'(t):
l|r'(t)r| =raiz1^2+(-sen t)^2+(3cos t)^2 =raiz1+sen^2 t+9cos^2 t
Dentro da raiz somamos sen^2 t=1-cos^2 t:
1+(1-cos^2 t)+9cos^2 t =2+8cos^2 t =2l(1+4cos^2 tr)
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l|r'(t)r| =raiz2,(1+4cos^2 t) =raiz2,raiz1+4cos^2 t

Passo 4

Então o comprimento é
L =integral-5^5raiz2,raiz1+4cos^2 t;dt =raiz2integral-5^5raiz1+4cos^2 t;dt

Passo 5

Como cos^2 t é função par, usamos simetria para escrever
L =raiz2cdot 2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt

Passo 6

Esse integral não se expressa em funções elementares, então aproximamos numericamente (por exemplo, Regra de Simpson com subintervalos de largura 0,5) e obtemos
integral0^5raiz1+4cos^2 t;dtapprox 8,194
Multiplicando por 2raiz2 resulta em
Lapprox 2raiz2times 8,194approx 23,18

Resposta

O comprimento da curva é
L =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt approx 23,18

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