[8,0] Resolver as integrais
f integral 15-2 cos theta d theta usando a substituição de meio-arco.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 15 - 2costheta,dtheta
usando a substituição do meio-arco. Vamos precisar da fórmula
t = tan!l(tfractheta2r), costheta = 1 - t^21 + t^2, dtheta = 2,dt1 + t^2

Passo 2

Fazendo t = tan(tfractheta2), temos
5 - 2costheta = 5 - 21 - t^21 + t^2 = 5(1 + t^2) - 2 + 2t^21 + t^2 = 3 + 7t^21 + t^2
Então
15 - 2costheta,dtheta = 13 + 7t^21 + t^2;2,dt1 + t^2 = 2,dt3 + 7t^2

Passo 3

A integral fica
integral 2,dt3 + 7t^2
Para resolver, escrevemos
3 + 7t^2 = 3l(1 + tfrac73t^2r),
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integral 2,dt3 + 7t^2 = 23integral dt1 + l(raiztfrac73,tr)^2

Passo 4

Fazendo u = raiztfrac73,t, então du = raiztfrac73,dt e dt = raiztfrac37,du. Assim
23integral dt1+u^2 = 23,raiztfrac37 integral du1+u^2 = 2raiz33raiz7;arctan(u) + C

Passo 5

Voltando a t = tan(tfractheta2) e u = raiztfrac73,t, a antiderivada é
2raiz33raiz7, arctan!l(raiztfrac73;tan!tfractheta2r) + C

Resposta

boxed integral dtheta5 - 2costheta = 2raiz33raiz7, arctan!l(raiztfrac73;tan!tfractheta2r) + C

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