2^ a Questão ( 1.5 pontos): Fatore ao máximo os polinômios:
(NECESSÁRIO EXIBIR OS CÁLCULOS PARA OBTER CADA FATORAÇÃO)
p(x)=(x+6)^4-81.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
p(x) = (x+6)^4 - 81
Isso envolve reconhecer diferenças de quadrados e fatorar cada parte até chegar em polinômios irreduzíveis sobre R.

Passo 2

Observe que 81 = 9^2 e que (x+6)^4 = l((x+6)^2r)^2. Logo temos uma diferença de quadrados:
p(x) = l((x+6)^2r)^2 - 9^2
Aplicando a fórmula
a^2 - b^2 = (a-b),(a+b)
com a = (x+6)^2 e b = 9, obtemos
p(x) = l((x+6)^2 - 9r),l((x+6)^2 + 9r)

Passo 3

Agora fatoramos o primeiro fator, que é de novo uma diferença de quadrados:
(x+6)^2 - 9 = l(x+6 - 3r),l(x+6 + 3r) = (x+3),(x+9)
O segundo fator (x+6)^2 + 9 é um somatório de quadrados, que em R não se decompõe mais.

Passo 4

Escrevendo (x+6)^2 + 9 de forma expandida temos
(x+6)^2 + 9 = x^2 + 12x + 36 + 9 = x^2 + 12x + 45,
que não possui raízes reais (discriminante De<a = 144 - 180 < 0).

Resposta

p(x) = (x+3),(x+9),l(x^2 + 12x + 45r)

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