Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede o limite de
x^3-y^3x-y
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Para simplificar a expressão, usamos a fatoração de diferença de cubos:
x^3-y^3=(x-y),(x^2+xy+y^2)

Passo 3

Como xneq y nos pontos em que a função está definida, podemos cancelar o fator (x-y) no numerador e no denominador, obtendo
x^3-y^3x-y=x^2+xy+y^2

Passo 4

Agora avaliamos o limite da função simplificada. Note que
l|x^2+xy+y^2r|<=|x|^2+|x|,|y|+|y|^2<= r^2+r^2+r^2=3r^2,
onde r=raizx^2+y^2. Como (x,y)to(0,0) implica rto0, segue que
x^2+xy+y^2to0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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