[8.6.3] Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que relaciona as taxas de variação de três variáveis: , e em relação ao tempo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar , e de forma que resolvam todas as equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar o método de matrizes e encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Isso nos ajudará a construir a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o sistema de equações em forma matricial. As equações dadas são:
Podemos escrever isso como:
$$
\frac{d}{dt}
A = 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de A, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Calculando A - lambda I:
Podemos encontrar que os autovalores são lambda1 = 4, lambda2 = -1 e lambda3 = 2.
Passo 4
Com os autovalores em mãos, agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda. Para cada autovalor lambda, resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 para encontrar o autovetor v.