[8.6.3] Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=3 x-y-z
d yd t=x+y-z
d zd t=x-y+z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que relaciona as taxas de variação de três variáveis: x, y e z em relação ao tempo t. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar x(t), y(t) e z(t) de forma que resolvam todas as equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar o método de matrizes e encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Isso nos ajudará a construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o sistema de equações em forma matricial. As equações dadas são:
dxdt = 3x - y - z
dydt = x + y - z
dzdt = x - y + z
Podemos escrever isso como:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x y z = 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 x y z

A = 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Calculando A - lambda I:
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & -1 1 & 1 - lambda & -1 1 & -1 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-1)] + 1[(1)(1 - lambda) - (-1)(1)] - 1[(1)(-1) - (1)(1 - lambda)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 1] + 1[(1 - lambda) - (-1)] - 1[(-1) - (1 - lambda)]
= (3 - lambda)[1 - 2lambda + lambda^2 - 1] + 1[2 - lambda] - 1[-2 + lambda]
= (3 - lambda)(lambda^2 - 2lambda) + (2 - lambda) + (2 - lambda)
= (3 - lambda)lambda(lambda - 2) + 4 - 2lambda
Resolvendo para lambda:
lambda (lambda - 2)(3 - lambda) + 4 - 2lambda = 0
Podemos encontrar que os autovalores são lambda1 = 4, lambda2 = -1 e lambda3 = 2.

Passo 4

Com os autovalores em mãos, agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda. Para cada autovalor lambda, resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 para encontrar o autovetor v.
Para lambda1 = 4:

$$
(A - 4I)\mathbf{v} =
(A - 4I)v = -1 & -1 & -1 1 & -3 & -1 1 & -1 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0
v1 = 1 1 1

lambda2 = -1
$$
Resolvendo, encontramos que o autovetor correspondente é (A + I)v = 4 & -1 & -1 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Para v2 = 1 1 -1 :

$$
(A + I)\mathbf{v} =
lambda3 = 2
(A - 2I)v = 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0

v3 = 1 1 1
$$
Resolvendo, encontramos que o autovetor correspondente é .
Para :

$$
(A - 2I)\mathbf{v} =

$$
Resolvendo, encontramos que o autovetor correspondente é .

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos respectivos autovalores. Portanto, temos:
x(t) y(t) z(t) = C1 e^4t 1 1 1 + C2 e^-t 1 1 -1 + C3 e^2t 1 1 1
Onde C1, C2 e C3 são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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