[8] Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto
simétrico de
em relação:
(8.1) ao eixo polar (8.2) ao eixo à
(8.3) ao pólo.
(8.1) ao eixo polar (8.2) ao eixo à
Passo 1
O ponto P é dado em coordenadas polares por
. Vamos usar o fato de que refletir um ponto em coordenadas polares corresponde a certas mudanças no ângulo (e às vezes no raio).
Passo 2
Reflexão em relação ao eixo polar (reta
): basta trocar
por
, mantendo
. Assim o ponto simétrico é
.
Como as coordenadas polares admitem , todos os pares são
, que equivale a
.
Como as coordenadas polares admitem
Passo 3
Reflexão em relação ao eixo
(reta
): o ângulo reflete segundo
. Logo
e o ponto simétrico é
.
Novamente com periodicidade: .
e o ponto simétrico é
Novamente com periodicidade:
Passo 4
Reflexão em relação ao pólo (origem): o ponto vai para o antipodal, o que em polares é trocar
por
sem mudar
. Logo
.
Para usar raio positivo, acrescentamos ao ângulo e invertemos o sinal de
:
.
Com periodicidade: ou ou
.
Para usar raio positivo, acrescentamos
Com periodicidade: ou
Resposta
(8.1) todos os pares do tipo
, equivalente a
.
(8.2) .
(8.3) , ou, usando
,
, com
.
(8.2)
(8.3)