[8] Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q simétrico de 90^circ em relação:
(8.1) ao eixo polar (8.2) ao eixo à (8.3) ao pólo.

Passo 1

O ponto P é dado em coordenadas polares por P=(2,pi/3). Vamos usar o fato de que refletir um ponto em coordenadas polares corresponde a certas mudanças no ângulo (e às vezes no raio).

Passo 2

Reflexão em relação ao eixo polar (reta theta=0): basta trocar theta por -theta, mantendo r. Assim o ponto simétrico é
Q1=(2,-tfracpi3).
Como as coordenadas polares admitem theta+2kpi, todos os pares são
Q1=(2,-tfracpi3+2kpi), que equivale a (2,5pi/3+2kpi).

Passo 3

Reflexão em relação ao eixo theta=90^circ (reta theta=pi/2): o ângulo reflete segundo thetamapstopi-theta. Logo
pi-tfracpi3=tfrac2pi3
e o ponto simétrico é
Q2=(2,tfrac2pi3).
Novamente com periodicidade: Q2=(2,tfrac2pi3+2kpi).

Passo 4

Reflexão em relação ao pólo (origem): o ponto vai para o antipodal, o que em polares é trocar r por -r sem mudar theta. Logo
Q3=(-2,tfracpi3).
Para usar raio positivo, acrescentamos pi ao ângulo e invertemos o sinal de r:
Q3=(2,tfracpi3+pi)=(2,tfrac4pi3).
Com periodicidade: ou Q3=(-2,tfracpi3+2kpi) ou Q3=(2,tfrac4pi3+2kpi).

Resposta

(8.1) todos os pares do tipo Q=(2,-tfracpi3+2kpi), equivalente a (2,5pi/3+2kpi).
(8.2) Q=(2,tfrac2pi3+2kpi).
(8.3) Q=(-2,tfracpi3+2kpi), ou, usando r>0, Q=(2,tfrac4pi3+2kpi), com kinZ.

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